ATPS ÁLGEBRA LINEAR
Por: 132950 • 13/4/2016 • Trabalho acadêmico • 4.362 Palavras (18 Páginas) • 335 Visualizações
Etapa 1
Passo 3
Definição:
Matrizes são objetos matemáticos organizados em linhas e colunas.
Cada um dos seus elementos tem dois índices (aij). O primeiro índice “i” indica linha e o segundo “j” indica coluna. O número de linhas e colunas que uma matriz tem chama dimensão da matriz. A matriz abaixo tem m linhas e n colunas e dizemos que ela tem dimensão mxn (m por n) e a representamos por A=(aij) mxn. Quando o número de linhas é igual ao número de colunas dizemos que a matriz é de ordem n e a chamamos de matriz quadrada.
a¹¹ a¹² a¹³ ... a¹n
a²¹ a²² a²³ ... a²n
a³¹ a³² a³³ .. a³n
A= . . . .
. . . .
. . . .
am¹ am² am³ amn
A importância dos índices da linha →i e coluna →j é fundamental para localizarmos a posição do número na matriz.
Ordem de uma matriz
Ordem de uma matriz é quando ela tem o mesmo número de linha quanto o de coluna. Por exemplo: 2x2, 3x3, etc. Pode ser chamada também como matriz quadrada.
Tipos de matriz
As matrizes são classificadas em diversos tipos, dependendo da sua dimensão e também dos elementos que a forma. A identificação dos tipos de matrizes irá facilitar os cálculos matemáticos e o conhecimento de suas propriedades são bastante úteis nas aplicações.
Exemplo de tipos de matrizes:
Matriz quadrada
Matriz linha
Matriz coluna
Matriz transposta
Matriz oposta
Matriz identidade
Matriz invertíveis
Matriz quadrada
É a matriz na qual o número de linhas é igual ao de colunas. Assim, toda matriz do tipo nxm é denominada matriz quadrada de ordem n, matriz quadrada nxm ou matriz nxm.
Exemplo: a) 3 4 é uma matriz quadrada de ordem 2.
5 2
b) 6 5 7 é uma matriz quadrada de ordem 3.
3 4 5
1 2 3
Na matriz quadrada também podemos perceber uma diagonal principal e uma diagonal secundária.
Exemplo: 8 9 0[pic 1][pic 2]
7 5 4 3x3
2 1 3
Diagonal Diagonal
Secundária Principal
Matriz linha
É a matriz que possui apenas uma linha.
Exemplo: (1 4 6) é uma matriz 1x3
Matriz coluna
É a matriz que possui apenas uma coluna.
Exemplo: 3 é uma matriz 3x1
4
5
Matriz transposta
É aquela que obtemos trocando, ordenamente, as linhas pelas colunas de uma matriz A do tipo mxn. A nova matriz, do tipo mxn, é denominada matriz transposta de A e é indicada por At.
Se A= 4 1 , então At = 4 6 8
6 2 1 2 3
8 3
Matriz nula
Matriz nula é a que tem todos os elementos iguais a zero.
Indicamos uma matriz nula do tipo mxn por 0mxn ou simplesmente por 0 quando não houver possibilidade de confusão com o número real zero.
Exemplo: 02x2= 0 0
- 0
Matriz oposta
A matriz oposta da matriz A=(aij), do tipo mxn, é a matriz B=(bij), do tipo mxn, que satisfaz a condição A+B=0mxn.
Indicamos a matriz oposta de A por -A.
Exemplo: A= 2 -4 6 0 , então -A= -2 4 -6 0
3 5 -1 -9 -3 -5 1 9
Matriz identidade
Matriz identidade de ordem ≥ z é a matriz quadrada de ordem n que tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais iguais a zero.
Exemplo: I2x2= 1 0 é a matriz identidade de ordem 2.
- 1
Se a matriz identidade de ordem 1 é I1=(1) e que, se A é a matriz do tipo mxn, com m≠n, então:
- Im ● A = A e não existe A ● Im;
- A ● In = A não existe In ● A;
Exemplo: Sendo A= 2 5 7 , temos:
3 4 6
- I2 ● A= 1 0 ● 2 5 7 = 2 5 7 = A
0 1 3 4 6 3 4 6
- Não existe A ● I2.
Matrizes invertíveis
Vamos, inicialmente, considerar a matriz A= 3 2 e analisar se
7 5
existe uma matriz B tal que AB=I2.
Se existe, B é uma matriz quadrada de ordem 2 ● fazendo B= x u
Y v ,
temos:
AB= I2 → 3 2 x u = 1 0 → 3x + 2y 3u + 2y =
7 5 y v 0 1 7x + 5y 7u + 5y[pic 3]
1 0 → 3x + 2y = 1 1[pic 4]
0 1 7x + 5y = 0 2 [pic 5]
3u + 2v = 0 3 [pic 6]
7u + 5y = 1 4[pic 7][pic 8]
Do sistema formado por 1 e 2 , temos x = 5,y = -7
Do sistema formado por 3 e 4 , temos u = -2, v = 3.[pic 9][pic 10]
...