ATPS Algebra Linear

APRESENTAÇÃO

Esse trabalho irá apresentar a solução de sistemas lineares que é uma ferramenta matemática importante na engenharia.

Geralmente os problemas não-lineares são resolvidos por ferramentas lineares.

Alguns dos problemas de equações lineares algébricas que são mais comuns na engenharia são: aproximação de equações diferenciais ou integrais contínuas através de sistemas discretas e finitos; linearização local de sistemas de equações não lineares; ajuste de curvas em dados. 

PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES

Matriz Retangular

É uma matriz cujo “m” que é o número de linhas é diferente de “n” que denomina o numero de colunas. Denotamos por “aij” onde “a” é o nome dado a matriz, “i” igual ao número de linha e “j” o numero de colunas, no caso de uma matriz m x n escrevemos:

Matriz Coluna

É uma matriz de ordem n por 1 é uma matriz-coluna, onde o numero de linhas é igual ao numero de colunas.

Matriz linha

A matriz de ordem 1 por n é uma matriz-linha,onde o número de linhas é igual ao de coluna.

A= (0 1 2 3 6 5... n)

Matriz quadrada

É uma matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas, nessas condições temos uma matriz quadrada, que pode ser denominada “n x n” ou apenas representada por “n”.

Matriz diagonal

Obtém-se uma matriz diagonal quando todos os elementos menos a diagonal principal são nulos. Que tem seus elementos Aij = 0.

Matriz escalar

É denominada uma matriz diagonal uma matriz onde os elementos Aij são iguais entre si para i = j é uma matriz escalar

1 0 1

A = 0 1 0

0 0 1

Matriz unidade

É uma matriz escalar de qualquer ordem onde seus elementos Aij = 1 para i = j é uma matriz unidade indicada por I.

DIAGONAL PRIMÁRIA DE UMA MATRIZ

Podemos encontrar a sua diagonal principal de ordem n, os elementos “Aij” em que i=j constituem a diagonal principal formadas pelos elementos.

A= ( 2 4 ) B= ( 1 5 -6 )

DIAGONAL SECUNDÁRIA DE UMA MATRIZ

Em uma matriz quadrada os elementos “Aij” são iguais a i + j = n+1 para se obter a diagonal secundária.

A=( 3 1 ) B= ( -3 5 3 )

MATRIZES E DETERMINANTES

Em todas as matrizes de ordem nxn temos um número determinante, que pode ser encontrado em matrizes de diversas ordens, 1ª ordem, 2ª ordem, etc., na matriz de 1ª ordem A1 seu determinante é o numero real 1, já em uma matriz de 2ª ordem obtemos o produto das diagonais, principal e secundária, sendo a secundária o inverso da diagonal principal.

Cálculo do determinante de uma matriz de 2ª ordem:

Det A = | 1 3 | = 1 . 5 – 3. 2 = 5 – 6 = Det A = - 1

| 2 5 |

Para calcular o determinante da matriz de segunda ordem acima foi usado o método das diagonais.

Cálculo do determinante de uma matriz de 3ª ordem:

Det. A =

Det. A = – (0 + 40 + 0) –15 + 0 – 4 = – 40 – 19 = Det A = – 59

Para calcular o determinante da matriz de terceira ordem acima utilizamos o método de

SARRUS

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Primeira propriedade

Se em uma matriz de qualquer ordem os elementos de uma coluna ou uma linha forem iguais a 0, automaticamente o determinante também será Det. = 0

Segunda propriedade

Se existir igualdade de elementos em linhas ou colunas o determinante será nulo:

Terceira propriedade

Em uma matriz de ordem nxn com valores proporcionais, o determinante também será nulo também nesse caso:

Quarta propriedade

No caso de multiplicarmos uma linha ou uma coluna de uma matriz por um número X, o determinante também será multiplicado pelo mesmo número X:

Quinta propriedade

Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.

Det. (k*A) = kn * det A

Sexta propriedade

O valor do determinante de uma matriz R é igual ao valor da mesma transposta

Det. R = det (Rt).

Sétima propriedade

Para obter o determinante de uma matriz triangular basta multiplicar os valores da diagonal principal, obtendo assim o determinante. Lembrando que em uma matriz desse tipo os valores abaixo ou sobre a diagonal é igual a zero.

EQUAÇÃO LINEAR