ATPS - ETAPA 3 - CALCULO NUMÉRICO

ETAPA 3

PASSO 1:

A álgebra linear ocupa lugar de destaque nas diversas áreas da matemática – da análise à estatística, onde se utilizam, constantemente, o cálculo matricial e vetorial. A importância da álgebra linear tem crescido nas últimas décadas. Os modelos matemáticos lineares assumiram um importante papel juntamente com o desenvolvimento da informática e como seria de se esperar, esse desenvolvimento estimulou um notável crescimento de interesse. Algumas das possibilidades de aplicações dos conteúdos da disciplina na modelagem matemática de problemas e situações concretas em engenharia são:

• Equações lineares em decisões gerenciais; circuitos eletrônicos e exploração de petróleo, entre outros.

• Álgebra matricial em computação gráfica.

• Determinantes em cálculo de áreas de volumes de sólidos poliédricos.

• Espaços vetoriais em sistemas de controle.

• Autovalores e autovetores em sistemas dinâmicos, entre outros.

CASO REAL DE APLICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES:

TRÁFEGO DE TRÂNSITO

Em uma certa região do centro de determinada cidade, dois conjuntos de ruas de mão única se cruzam conforme a ilustração abaixo. A média do número de veículos por hora que entram e saem dessa seção durante o horário de rush é dada no desenho.

Serão determinadas as quantidades de veículos entre cada um dos quatro cruzamentos.

Solução: em cada cruzamento, o número de veículos que entra deve ser igual ao número que sai. Por exemplo, no cruzamento A, o número de veículos que entra é x1 + 450 e o número de veículos que sai é x2 + 610. Logo

38 x1 + 450 = x2 + 610 (cruzamento A)

Analogamente

x2 + 520 = x3 + 480 (cruzamento B)

x3 + 390 = x4 + 600 (cruzamento C)

x4 + 640 = x1 + 310 (cruzamento D)

Tem-se então o sistema:

x1 - x2=160

x2 - x3 =-40

x3 - x4=210

x4 - x1 = —330

A matriz aumentada do sistema é:

1 -1 0 0 160

0 1 -1 0 -40

0 0 1 -1 210

-1 0 0 1 -330

Após o escalonamento tem-se:

1 0 0 -1 330

0 1 0 -1 170

0 0 1 -1 210

0 0 0 0 0

A solução geral do sistema é: (330 + x4, 170 + x4, 210 + x4, x4)

O sistema é compatível, e, como existe uma variável livre, existem infinitas soluções. O diagrama de fluxo de tráfego não contém informações suficientes para determinar x1, x2, x3 e x4. Se o número de veículos entre dois cruzamentos fosse conhecido, o tráfego nos outros cruzamentos estaria determinado. Por exemplo, se uma média de