ATPS DE CALCULO NUMÉRICO ETAPA 1 E 2

ETAPA 1

PASSO 1

A maioria dos problemas da matemática é originária da necessidade de resolver

situações da natureza. Numa primeira etapa tem-se que obter um modelo

matemático que representa de maneira conveniente um problema a ser analisado;

obtido o modelo matemático procura-se encontrar a sua solução.

Modelo é uma reprodução idealizada de algumas ou todas as características

físicas de um processo natural; é um sistema que consegue reproduzir, pelo

menos em parte, o comportamento de um processo natural; é uma representação, de algum objeto ou sistema, com o objetivo de buscar respostas para

diferentes situações.

Quando se quer resolver um problema em engenharia deve-se ter em mente

o modelo que representa a situação física. Tal modelo é transformado em

equações matemáticas, modelo matemático, que será resolvido ou por métodos

analíticos, ou por numéricos. Como para a maioria das situações não há

soluções analíticas, os métodos numéricos tornam-se a alternativa mais econômica; outra possibilidade seria a experimentação em laboratório, que envolve

normalmente equipamentos e técnicas sofisticadas ou caras, ou até situações

de risco.

Introdução: Álgebra e Vetores.

O conceito de vetor surgiu na Física como muita das noções da Matemática. O conceito Físico estava ligado a uma entidade geométrica, “uma seta”, porque tinha que ter direção e intensidade. Esta visão geométrica é primitiva e tem que ser generalizada para ser melhor aplicada em distintas situações. Como sempre, é um processo algébrico, ou formal que produz a generalização adequada. Os passos desta generalização seguem uma analise do conceito que se deseja generalizar.

Com vetores, queriam os físicos, estender o conceito de número. Os números eram pobres,representavam apenas a intensidade, era preciso associar-lhe direção sentido. Os três conceitos se encontram sintetizados, geometricamente, num “segmento de reta orientado", que tem módulo, direção e sentido. Entretanto os dois últimos conceitos se confundem uma vez que não é possível falar de sentido sem direção. De uma certa forma se pode dizer que existem apenas dois novos conceitos num “vetor": intensidade (ou módulo) e ângulo, desde que se tenha estabelecido um padrão adequado para medição de ângulos. Mas padrão para medir também necessário quando se fala em intensidade. A representação geométrica dos vetores conduziu naturalmente ao conceito geométrico de soma destes objetos: a regra do paralelogramo.

As outras “coordenadas” contidas no conceito de vetor: intensidade, ângulo, direção, sentido, que de alguma forma se sobrepõem, todas surgiram da concepção geométrica.

Os conceitos de ângulo, comprimento ou módulo, ficam todos generalizados pelo conceito de produto escalar. Em Geometria Analítica se define o produto escalar de dois vetores, mas é na Álgebra Linear que se estende convenientemente o conceito de número incluindo os vetores.

Hoje encontramos a palavra vetor utilizada em computação ou mesmo em economia ou planejamento e a idéia subjacente é a mesma. No “vetor” que aparece em computação não tem sentido falar em módulo na verdade a palavra certa seria matriz que generaliza a idéia de vetor: um objeto multi-numérico, ou número generalizado.

Exemplos de aplicações de

sistemas lineares

Um sistema linear e um conjunto de m equações, com n incógnitas x1, x2, . . ., xn, da seguinte

forma:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Os números aij são os coeficientes do sistema linear, e são fornecidos no problema. Os bi’s

são chamados de termos independentes. Aqui estudaremos apenas os sistemas lineares que

tenham tantas equações quanto incógnitas, isto é, m = n.

por exemplo, a relação entre o determinante dos coeficientes do sistema e a

existência e unicidade de soluções),

O cálculo numérico compreende:

-A análise dos processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações

aritméticas;

- O desenvolvimento de uma seqüência de operações aritméticas que levem às

respostas numéricas desejadas (Desenvolvimento de algoritmos);

-O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em

escrever o método numérico como um programa de computador

Espera-se, com isso, obter respostas confiáveis para problemas matemáticos. No entanto,

não é raro acontecer que os resultados obtidos estejam distantes do que se esperaria obter.

PASSO 2:

DESAFIO A:

I = falsa, por que o v1 é uma combinação linear do v2, ou seja eles se anulam.

II= verdadeira, por que a combinação linear entre v1 e os demais não se anulam.

III= verdadeira, por que v1 é uma combinação linear dos demais vetores.

DESAFIO B:

u = (4, 7,-1) v = (3, 10, 11)

w= u(4,7,-1)+v(3,10,11)=(0,0,0)

{4u+3v=0

{7u+10v=0

{-u+11v=0

No sistema formado podemos observar que não existe anulação entre os vetores, e que seria necessário métodos como o de escalonamento para resolver esta incógnita, portanto a resposta é verdadeira, são linearmente independentes, pois não se anulam.

DESAFIO C:

w1 (3, 3, 4) e w2 ( 1, 2, 0)

w = 2w1 - 3w2 => 2(3,-3,4)-3(-1,2,0)

w= (6,-6,8) + (3,-6,0)

w=(9,-12,8) resposta correta.

PASSO 3:

RESPOSTA: SEQUENCIA = 11101

ETAPA 2

PASSO 1:

CASO A:

RESPOSTA: Foram apresentados valores diferentes devido ao método de aproximação utilizado por cada um dos três alunos, assim quanto maior o numero de casas após a virgula, maior a precisão do resultado.

CASO B:

RESPOSTA: Ocorre diferença no resultado, por que a calculadora representa o numero multiplicado pela base 10 elevado a potencia referente a representação, porém o computador representa numericamente sem elevar a base 10, assim não ocorre aproximação de valores, e terá um resultado mais próximo da exatidão.

PASSO 2:

I falsa

II verdadeira

III falsa

PASSO 3

COMBINAÇÃO

100

Total da combinação etapa 1 e etapa 2 : 11101100