Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem
Por: Suelen Leão • 22/5/2017 • Trabalho acadêmico • 492 Palavras (2 Páginas) • 444 Visualizações
Calculo II
- Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem
- Vibrações Forçadas
As equações com coeficientes constantes, embora simples, servem como
modelo para um grande número de sistemas importantes nas aplicações em físicas, engenharia e outras áreas.
Um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica K, sob atrito e sujeito a uma força externa variável F(t), tem seu movimento descrito por uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
A força que a mola exerce sobre o corpo é dada pela lei de Hooke, , enquanto o atrito exerce uma força proporcional a sua velocidade e em direção oposta a ela, . De acordo com a força segunda lei de Newton, , onde é a soma de todas as forças atuando sobre o corpo, ou seja:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
[pic 5]
Se, além destas forças, adicionarmos uma força externa F(t) promovida, por exemplo, por um motor ou outro mecanismo qualquer de transferência de energia para o sistema corpo-mola, teremos:
[pic 6]
Logo:
[pic 7]
Ou utilizando a notação compacta, :[pic 8]
[pic 9]
O caso mais simples de interesse é da mola livre, sem a atuação de forças externas ou atrito. Nesta situação temos:
[pic 10]
[pic 11]
Cuja solução pode ser obtida substituindo –se na equação diferencial para obter:[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
A solução geral é:
[pic 16]
Onde é a frequência natural do sistema.[pic 17]
As constantes de integração ficam determinadas por meio das condições iniciais, por exemplo, posição e velocidade inicial do corpo. Uma outra forma interessante pode ser obtida para esta solução se definirmos novas constantes C e que se e relacionam de acordo coma afigura abaixo:[pic 18][pic 19][pic 20]
Onde:
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
...