Aplicaçao de Equaçao EDO

Atira-se uma pedra para cima, desde uma ponte que está 5 m acima de um rio; a componente vertical da velocidade com que é lançada a pedra é igual a 9 m/s. A pedra acaba por afundar-se no rio. Calcule a velocidade com que a pedra bate na superfície do rio e a altura máxima por ela atingida, medida desde a superfície do rio (admita que a resistência do ar pode ser desprezada).

Resolução. Escolhendo o eixo  na vertical, apontando para cima e com origem na superfície do rio, a posição inicial é  = 5 e o valor da componente  da aceleração é  = −9.8 (unidades SI).

Como o movimento é uniformemente acelerado este exemplo pode ser resolvido usando as equações 1.14, 1.15 e 1.16. No entanto, mostra-se aqui a resolução usando outro método mais geral, chamado método de separação de variáveis, que é útil em outros casos mais complicados.

O valor constante da aceleração  pode ser substituído nas equações cinemáticas 1.19 (usando  em vez de ); as duas equações cinemáticas onde se substitui  ficam  e, que são equações diferenciais ordinárias porque cada uma tem apenas duas variáveis;  e  na primeira equação e  e  na segunda.

Como o problema pede para calcular  a partir da altura inicial  dada, usa-se a equação que relaciona  com :

A seguir, considera-se a derivada nessa equação como se fosse um quociente entre  e  e agrupa-se num lado da equação todo o que depende de  e no outro lado todo o que depende de 

Diz-se que foram separadas as variáveis nos dois lados da equação. Uma vez separadas as variáveis, integram-se os dois lados da equação e podem dar-se já valores aos limites dos dois integrais. No integral do lado esquerdo, a altura varia desde  = 5 até  = 0 (limites de integração para ). No integral do lado direito, a velocidade varia desde 9 até um valor final  que se pretende calcular e que, portanto, é colocado no limite do integral como variável desconhecida a ser calculada:

Calculam-se os dois integrais manualmente ou usando o Maxima (integrate (9.8, y, 5, 0) e integrate (vy, vy, 9, vf)). O resultado obtido é:

(a segunda solução da equação, , corresponde à velocidade com que a pedra deveria ter partido da superfície da água, para passar pela ponte com componente da velocidade de 9 m/s para cima).

Assim sendo, a componente vertical da velocidade com que a pedra entra no rio é  = −13.38 m/s; como a pedra foi lançada verticalmente, a trajetória é vertical e esta é também a velocidade . Para determinar a altura máxima, tem-se em conta que no ponto onde a pedra termina a sua subida e começa a descer, a componente vertical da sua velocidade deve ser nula. Repete-se o mesmo cálculo dos integrais acima, mas deixando a altura máxima  como variável a ser calculada, enquanto que a velocidade final é substituída por 0: