EDOS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO)

Uma equação diferencial é uma expressão que envolve uma função incógnita e uma ou mais de suas derivadas. O nosso objetivo é tentar descobrir a tal função ou suas propriedades.

Exemplos:

1. y’- cos x = 0 (1a ordem)

2. y’’ + 4y = 0 (2ª ordem)

3. x2y’’’y’+ 2exy’’ = 2y (3ª ordem)

Usamos o adjetivo ordinário para distinguir da equação diferencial parcial (EDP) que envolvem derivadas parciais. Exemplo:

OBS: Estudaremos apenas as equações diferenciais ordinárias.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece, e o grau é a potência que se acha elevada a derivada de ordem mais alta.

Exemplo: EDO de ordem 2 e grau 3

Uma função y = f(x) é uma solução de uma equação diferencial em um dado intervalo se a equação estiver satisfeita para todo x no intervalo quando y e suas derivadas forem substituídas na equação, isto é, substituindo-se a solução e sua derivada na equação, devemos obter uma igualdade.

Exemplos: 1. y’- 2x = 0 Uma solução é y = x2

2. Uma solução é y = e5x mas não é a única, y = C ex + e5x é também solução para todo valor real da constante C. A solução y = C ex + e5x é chamada solução geral da equação.

Quando um problema aplicado leva a uma equação diferencial, geralmente existem condições que determinam valores específicos para as constantes arbitrárias. Para uma equação de primeira ordem, a única constante arbitrária pode ser determinada especificando-se o valor da função y(x) em um ponto arbitrário x0. Isto é chamado de condição inicial e o problema é então denominado de problema de valor inicial de primeira ordem.

Exemplo:

Essa equação é a única que sabemos resolver no momento, basta integrar de cada lado da equação e usando o Teorema fundamental do Cálculo, obtemos a solução :

Qual a curva que apresenta a condição de passar no ponto (2, 6)?

Essa é uma solução particular para a equação. Enquanto que é uma solução geral.

Observe que podemos proceder, na mesma equação, da seguinte forma (separando as variáveis):

 , logo  e com a condição inicial y(2) = 6 obtemos para k o valor de -2. Assim a solução desta equação é y = x3 – 2

Estudaremos apenas as equações diferenciais ordinárias de 1a ordem, isto é, equações que envolvem apenas a derivada primeira e em relação à uma variável.

EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS

Equações de primeira ordem que podem ser expressas da forma h(y) dy = g(x) dx

são denominadas separáveis, já que as expressões envolvendo x e y aparecem em lados diferentes na equação. Esta separação permite que a interação de ambos os lados determine a solução da equação.

Exemplo: y’= yx , y(0) = 3

Û Û . Explicitando , temos Solução geral

Solução do problema de valor inicial: . Logo a solução é:

Para cálculo via Maple:

>dsolve(diff(y(x),x)=y(x)*x);

Exercícios:

R: y = K x

1.

R:

2.

R:

3.

R:

4.

5.

6. R:

7. (y2 + 1) + (x2 + 1)

8. (x y + 3x) dy = - 2y dx R: y + 3 ln|y| = - 2 ln|x| + C

9. ex dx – y dy = 0 ; y(0) = 1 R:

10. R:

11. R:

12. R:

Nem toda equação diferencial é separável. Por exemplo, não é possível separar as variáveis na equação , porém, esta equação pode ser resolvida por um método diferente que consideraremos agora.

EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM

Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de linear se puder ser expressa na forma:

(1)

onde p(x) e q(x) são contínuas (podem ser constantes).

Para resolução procuramos uma função que é chamada de fator integrante, multiplicamos os dois lados da equação acima:

Queremos que o primeiro membro da igualdade seja expresso por , facilmente integrável.

Observe que:

Logo deve ser tal que

Para este a equação fica

ou

A resolução pelo chamado método do fator integrante se resume em três passos:

1. Calcule ( fator integrante)

2. Multiplique os dois lados da igualdade (1) por u e expresse o resultado como

3. Integre ambos os lados da equação obtida, então, resolva para y. Inclua neste passo uma constante de integração.

Exemplos:

1)

2) ; y(0) = 1

3)

4) y´ - 2x y = x

5) y´+ y = sen(x)

R:1. 2. y = 1/3 + k e-3x 3. Y = (ln( x) + 2)x 4. Y = 5.

Exercícios complementares:

1. Verifique se é solução da equação

2. Confirme que y = 2 é uma solução do problema de valor inicial y’= x2y com y(0) = 2.

3. Confirme que y = ¼ x4 + 2 cos x + 1 é uma solução do problema de valor inicial y’= x3 – 2 sen x ;y(0)=3.

4. Resolva cada uma das equações diferenciais pelo método dos fatores integrantes e por separação de variáveis e confirme que as duas soluções são iguais.

a) b) c) d)

5.Resolva cada equação diferencial por separação de variáveis:

a) b) y’= -xy c) (1 + x4) d)

6.Resolva cada equação diferencial pelo método dos fatores integrantes:

a) b) c) d)

7. Determine a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial:

a) y(1) = 2 b) y(-1) = 2

8.Resolva o problema de valor inicial:

a) ; y(0) = 3 b) ; y(0) = 1 c) ; y(0)= 0

d) ; y(0) = -1 e) ; y(0) = 1

Respostas:

4. a) y = c e-3x b) y = c e c) y = c e-t d) y =

5. a) y = cx b) y = c e c) y2 = ½ ln (1+x4 ) d) y = c e-sen t

6. a) b) y= c) y = e-2x( ½ x + c) d) y = e-x (ln (1+ ex) + c)

7. a) y = b) y = 8. a) y = -1 + 4 e b) y = 2 – e –x c) y = - ln ( - x2/2 – 2x + 1)

d) y2 – 2y = t2 + t + 3 e) y =

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM - APLICAÇÕES

Veremos alguns exemplos de equações diferenciais ordinárias que modelam diferentes problemas. Na solução dos problemas, são utilizadas técnicas de integração vistas anteriormente.

1. Aplicações em Geometria:

Exemplo:

Ache uma curva no plano XY que passa por (0,3) e cuja tangente em um ponto (x,y) tem inclinação .

2. Modelos de Crescimento e decrescimento:

Um modelo matemático para o crescimento natural de uma substância (ou população) baseia-se na premissa de que, em condições ideais, uma população cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população.

Variáveis nesse modelo: t = tempo (variável independente)

P = numero de indivíduos da população no instante t (função de t)

Taxa de variação da população: é a derivada .

Equação Diferencial: , onde k é a constante de proporcionalidade.

Exemplo:

Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, inicialmente a quantidade é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da massa original, determine:

a) a expressão para a massa da substância restante em um tempo arbitrário t;

b) a massa restante após 4 horas;

c) o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade.

OBS: o tempo necessário para reduzir uma substância sujeita a decréscimo à metade da quantidade original é chamada MEIA-VIDA da substância.

3. Transferência de Calor – Lei de Resfriamento de Newton:

A taxa segundo a qual decresce a temperatura de um corpo que está resfriando, é proporcional `a diferença entre a temperatura do corpo e a do meio ambiente.

Variáveis nesse modelo: t = tempo (variável independente)

y = temperatura do corpo no instante t (função de t)

Taxa de variação da temperatura: é a derivada .

Equação Diferencial: , onde k é a constante de proporcionalidade ( k<0) e T a temperatura ambiente.

A lei de Newton também se aplica para problemas de aquecimento. Neste caso, deve-se ter K>0.

Exemplo:

Coloca-se uma barra de metal a temperatura de 100º F num quarto com temperatura de 0º F. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50º F, determine:

a) o tempo necessário para a temperatura da barra chegar à 25º F;

b) a temperatura da barra após 10 minutos.

4. Juros compostos continuamente:

Um modelo matemático para um investimento de capital, onde considera-se apenas a taxa de juros compostos continuamente, diz que a taxa de crescimento do capital é proporcional ao tamanho do capital investido.

Variáveis nesse modelo: t = tempo (variável independente)

y = capital investido no instante t (função de t)

Taxa de variação de crescimento do capital: é a derivada .

Equação Diferencial: , onde i é a taxa de juros

Se forem feitas retiradas ou depósitos adicionais sempre no mesmo valor K, o modelo deve ser modificado , sendo dado pela equação diferencial:

Exemplo:

Uma pessoa aplica R$ 5.000,00 numa conta em favor de um recém nascido. Admitindo-se que não haja outros depósitos nem retiradas, de quanto a criança disporá ao atingir a idade de 21 anos, se o banco abona juros de 5% ao ano, compostos continuamente durante todo o período?

5. Problemas de mistura:

Este tipo de problema serve como modelo, por exemplo, para descarga e filtragem de poluentes em um rio, injeção e absorção de medicamentos na corrente sanguínea e migração de espécies para dentro e para fora de um sistema ecológico.

Exemplo:

No instante t = 0, um tanque contém 4 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. Suponha que a água salgada contendo duas libras de sal por galão é acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões por minuto, e que a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa. Ache a quantidade de sal no tanque após 10 minutos.

Variáveis : t = tempo (variável independente)

y = quantidade de sal no instante t (função de t)

Taxa de variação : é a derivada = taxa de entrada – taxa de saída.

No nosso exemplo: Taxa de entrada = (2lb/gal).(5gal/min)= 10 lb/min

Taxa de saída = (

Equação Diferencial: , y(0) = 4

... y(t) = 200 + C e com a condição inicial, que y = 4 quando t =0 temos

y(t) = 200 + 196 Logo, no instante t = 10 a quantidade de sal no tanque é:

y(10) = 200 + 196 81,1 lb

PROBLEMAS:

1) A taxa de variação da quantidade vendida V em relação aos gastos com propaganda x, é

Sabendo que, quando x = 100, V = 80, obtenha V como função de x.

(Dado: ln 105 @ 4,65) [ Resp.: V(x) = 20 ln(5+x) -13 ]

2) De acordo com os dados dos EUA, a população mundial no começo de 1990 era de aproximadamente, 5,3 bilhoes, crescendo a uma taxa em torno de 2% ao ano. Supondo valido o modelo de crescimento populacional, responda:

a) Qual a estimativa para a população mundial no inicio do ano 2015? [Resp: 8,7 bilhões]

b) Em quanto tempo a população será duplicada? [Resp: ≈ 35 anos ]

3) Abri uma conta bancaria com um deposito inicial R$ 1.000,00 e pretendo economizar, depositando. R$ 1.000,00 por ano. O saldo total da conta rendera 10% ao ano de juros compostos continuamente. Aproximadamente, quantos anos serão necessários para que o meu saldo seja de R$ 100.000,00? [Resp: 23 anos ]

4) Um copo de água a uma temperatura de 95ºC esta colocado numa sala com uma temperatura constante de 21ºC. Quantos minutos levará para a água atingir uma temperatura de 51ºC se ela resfria para 85ºC em 1 minuto ? [Resp: 6,22min ]

5) Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine o número aproximado de bactérias existentes no início da cultura.

[Resp: N(0)= 694 ]

6) Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida num quarto mantido à temperatura constante de 30º F. Se após 10 minutos, a temperatura do corpo é 0º F e após 20 minutos é 15º F, determine a temperatura inicial desconhecida. [Resp: T0= - 30º F ]

7) A equação diferencial descreve a carga Q em um condensador com capacidade C durante um processo de carga envolvendo uma resistência R e uma força eletromotriz V. Se a carga é nula quando t = o, expresse Q como função de t.

[Resp: Q = CV ]

8) No instante t = 0, um tanque contém 25 g de sal dissolvidos em 50 litros de água. A água salgada contendo 4 g de sal por litro é acrescentada ao tanque a uma taxa de 2 litros/min e a solução misturada é drenada no tanque a mesma taxa.

a) Quanto sal haverá no tanque num tempo arbitrário t?

b) Quanto sal haverá no tanque após 25 minutos?

[Resp: a) y = 200 – 175 b) y(25) 135,62 g ]

9) Um tanque contém inicialmente 200 galões de água pura. Num instante t = 0, a água salgada contendo 5 libras de sal por galão é acrescentada ao tanque a uma taxa de 10 galões por minuto e a solução misturada é drenada do tanque a uma mesma taxa.

a) Quanto sal haverá no tanque num tempo arbitrário?

b) Quanto sal haverá no tanque após 30 minutos?

[Resp: a) y = 1000 – 1000 b) y(30) 776,9 lb ]

10) Um tanque com a capacidade de 1000 galões contém, inicialmente, 500 galões de água poluída com 50 libras de poluente. No instante t = 0, água é acrescentada a uma taxa de 20 galões por minuto e a solução misturada é drenada a uma taxa de 10 galões por minuto. Quanto poluente haverá no tanque quando ele chegar no ponto de transbordar?

[Resp: y(50) = 25 lb ]