Aplicação de Derivada

Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO) Professora Lorena Abreu 2º sem/12

1. Limite

1.1 Introdução:

Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado.

Exemplos:

1. Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha.
2. Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o limite de carga que este suporta.
3. No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita.

É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual pode-se aproximar tanto quanto desejar.

1.2 Limite de uma variável

Suponhamos que uma variável x assuma valores x1, x2, x3, x4, ... em cada uma das sucessões:

1. (xa) = (2,9; 2,99; 2,999; 2,9999; ...)
2. (xa) = (3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; ...)
3. (xa) = ([pic 1]; -[pic 2]; [pic 3]; -[pic 4]; ...)

Intuitivamente podemos afirmar que:

No exemplo 1, x tende a 3 por valores menores que 3 ou pela esquerda e indicamos x[pic 5]3-.

No exemplo 2, x tende a 3 por valores maiores que 3 ou pela direita e indicamos x[pic 6]3+.

No exemplo 3, x tende a 0 “pela esquerda e pela direita” e indicamos x[pic 7]0.

Quando dizemos que x[pic 8]a, a [pic 9]R, significa que a diferença (em valor absoluto) entre x e a tende para zero. Daí a definição:

Seja D o domínio de uma variável x. Dizer que x[pic 10]a, a [pic 11]R, ou que a é o limite de x, significa que se imaginarmos um número real positivo “[pic 12]” arbitrariamente pequeno existe x[pic 13]D tal que [pic 14][pic 15].

Observações: a) Dizemos que a variável x tem limite finito quando x[pic 16]a[pic 17].

b) Dizemos que a variável x tem limite infinito quando ela assume valores positivos crescendo indefinidamente e indicamos x[pic 18]ou quando assume valores negativos decrescendo indefinidamente e indicamos x[pic 19].

c) Quando numa propriedade escrevemos x[pic 20] queremos dizer que ela vale quando x[pic 21] ou x[pic 22].

2. Noção Intuitiva de Limite de Função:

Exemplos: 1) Estudar o comportamento da função y = f(x) = x + 3 quando x[pic 23]2.

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