Apostila calculo 2

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CÁLCULO II 2015/1

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1 – Revisão do Cálculo I

O processo de encontrar a antiderivação é denominado INTEGRAÇÃO.

𝑑 𝑑𝑥

[𝐹(𝑥)] = 𝑓(𝑥) → ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)+𝐶

C é uma constante real qualquer.

1) A função F(x) é tal que em cada ponto de seu gráfico temos uma reta tangente cuja declividade é 2x. Determine de forma geral F(x).

Derivação  Declividade da reta tangente  Taxa de variação instantânea.

2) Determine a função G(x) tal que em cada ponto de seu gráfico temos uma reta tangente cuja declividade é 1 3 𝑥3. Determine G(x), sabendo que o ponto P(2,1) pertence ao gráfico da função G(x).

1.1 Propriedades Básicas

∫𝑑𝑥 = 𝑥 +𝐶

∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 +𝐶

∫(𝑓 +𝑔)𝑑𝑥 = ∫𝑓 𝑑𝑥 +∫𝑔 𝑑𝑥

Exercícios de Aplicação da Tabela

3

1) ∫( 10 𝑦 3 4

− √𝑦 3 +

4 √𝑦

)𝑑𝑦

2)∫(−3. 𝑒𝑥 +𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥

3)∫(

1 𝑥

+sec2𝑥 +1)𝑑𝑥

4) ∫

1−2𝑥3 𝑥4

𝑑𝑥

Mais Exercícios – Anton Volume 1, página 363 exercícios: 9, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23, 25.

1.2 Teorema Fundamental do Cálculo

Teorema

Seja f(x) = F’(x) no intervalo [a, b] então

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏 𝑎

𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)

1) Determine:

𝑎) ∫ (

1 𝑥3

+√𝑥 +1)𝑑𝑥

4

1

𝑏) ∫ (−

3 𝑥

+cos𝑥)𝑑𝑥

2𝜋

𝜋

4

1.3 Aplicações do Teorema Fundamental do Cálculo: Cálculo de Áreas

1) Determine a área das regiões demarcadas

Área entre curvas: Determine a área da região S limitada pelas curva y =f(x), y=g(x) e x=a

𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑏 𝑎 2) Determine a área em cada região:

a) 𝑅3 b) 𝑅2 c) 𝑅1 +𝑅3

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3) Determine a área das regiões delimitas pelas curvas A) B)

C) D)

E)

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1.3 Aplicações do Teorema Fundamental do Cálculo: Volume de sólidos de Revolução

Problema:

Seja f uma função contínua não negativa no intervalo [a,b], a região R que é limitada pelas curvas y=f(x), y=a e y=b. Determine o volume do sólido gerado pela rotação completa da região R em torno do eixo.

𝑉 = 𝜋∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎

1) Determine o volume do sólido gerado pela rotação completa da região limita pelas curvas 𝑦 = √𝑥 , x=1 e x=4.

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2) Determine o volume do sólido gerado pela rotação completa da região limita pelas curvas 𝑦 = 𝑥2, y=0 e x=1 em torno do eixo x.

3) Foi encomendado para o final de um campeonato de Rugby um troféu maciço em formato de uma bola do esporte. Para calcular o volume desse objeto, o projetista utiliza a rotação da função 𝑦 = 2 5 √25−𝑥2 em torno do eixo x, no intervalo de [-5,5]

Contando que o preço do material utilizado para a elaboração do troféu utilizado para a elaboração do troféu é de R$10,00 por unidade de volume, qual será o valor gasto para fabricá-lo? Considere só o valor do material e a aproximação 𝜋 = 3.

       



  

x

y

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2 – Técnicas de Integração

2.1 Integração por Substituição

 Regra da Cadeia

𝑑 𝑑𝑥

[𝐹(𝑔(𝑥)] = 𝐹′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)

Determine f’ nas funções abaixo:

𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥

𝑏) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 +3)4

𝑐) 𝑓(𝑥) = √𝑥 +2

Integração por substituição é aplicação da regra da cadeia na integração

∫𝐹′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)+𝐶

Tomamos g(x)=u eF’=f,

∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢)+𝐶

onde 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥

Determine