As Derivadas Matemática

 CURSO: ENGENHARIA AMBIENTAL E SANITÁRIA

 PROJETO: FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA – MATEMÁTICA I

 NOME: ANA BEATRIZ MARTIM PEREIRA

 MATRÍCULA 23103233

ENTREGA DA FASE 2.

OBJETIVO DA FASE:

Temos como objetivo desta fase definir as derivadas para as áreas e volume de cada sólido regular como cubo, esfera, cone, pirâmide quadrangular e cilindro, como estudado na fase I e definiremos se a função possui máxima ou mínima igual a zero além de identificar o melhor sólido.

DESENVOLVIMENTO DA FASE

1) Determinar as funções derivadas para as áreas e volume de cada sólido estudado.

- CUBO: A fórmula do volume de um cubo é V(l) = l3

V'(l) = d/dl (l3) = 3l (3-1) = 3l2

Portanto, a derivada do volume do cubo em relação ao lado é V'(l) = 3l2.

A fórmula da área de um cubo é A(l) = 6l2

A'(l) = d/dl (6l2) = 12l (2-1) = 12l

Assim, a derivada da área do cubo em relação ao lado é A'(l) = 12l.

V/A = (l3) / (6l2) = l/6

(d/dl) (V/A) = (d/dl) (l/6) = 1/6

Portanto, a derivada de V/A em relação ao lado do cubo (l) é constante e igual a 1/6.

- CILINDRO: A fórmula da área de um cilindro é A (r, h) = 2πrh + 2πr2

Derivada em relação ao raio (r): A'(r) = d/dr (2πrh + 2πr2) = 2πh + 4πr

Derivada em relação à altura (h): A'(h) = d/dh (2πrh + 2πr2) = 2πr

Portanto, a derivada da área do cilindro em relação ao raio é A'(r) = 2πh + 4πr, e em relação à altura é A'(h) = 2πr

V/A = (πr2h) / (2πrh + 2πr2):

Derivada em relação ao raio (r): (d/dh) (V/A) = [(d/dr) (πr2h)] / [(d/dr) (2πrh + 2πr2)] = (2πrh) / (2πh + 4πr)

Derivada em relação à altura (h): (d/dh) (V/A) = [(d/dh) (πr2h)] / [(d/dh) (2πrh + 2πr2)] = (πr^2) / (2πh + 4πr)

Portanto, a derivada de V/A em relação ao raio (r) é [(2πrh) / (2πh + 4πr)], e em relação à altura (h) é [(πr2) / (2πh + 4πr)]

- CONE: A fórmula do volume de um cone é V (r, h) = (1/3)πr2h

Derivada em relação ao raio (r): V'(r) = d/dr [(1/3)πr2h] = (2/3)πrh

Derivada em relação à altura (h): V'(h) = d/dh [(1/3)πr2h] = (1/3)πr2

Portanto, a derivada do volume do cone em relação ao raio é V'(r) = (2/3)πrh, e em relação à altura é V'(h) = (1/3)πr2.

Para calcular a derivada da área em relação ao raio (r) ou à geratriz (s):

Derivada em relação ao raio (r): A'(r) = d/dr [πr(r + s)] = π(2r + s)

Derivada em relação à geratriz (s): A'(s) = d/ds [πr(r + s)] = πr

Portanto, a derivada da área do cone em relação ao raio é A'(r) = π(2r + s), e em relação à geratriz é A'(s) = πr.

V/A = [(1/3)πr2h] / [πr(r + s)]

Derivada em relação ao raio (r): (d/dr) (V/A) = [(d/dr) (1/3)(r/h)] / [(d/dr) (r + s)] = (1/3) (1/h) / 1 = 1/(3h)

Derivada em relação à geratriz (s): (d/ds) (V/A) = [(d/ds) (1/3)(r/h)] / [(d/ds) (r + s)] = 0 / 1 = 0

Portanto, a derivada de V/A em relação ao raio (r) é 1/(3h), e em relação à geratriz (s) é 0.

- ESFERA: A fórmula do volume de uma esfera é V(r) = (4/3)πr3

Derivada em relação ao raio (r): V'(r) = d/dr [(4/3)πr3] = 4πr2

Portanto, a derivada do volume da esfera em relação ao raio é V'(r) = 4πr2.

Área de uma esfera é A(r) = 4πr2

Derivada em relação ao raio (r): A'(r) = d/dr [4πr2] = 8πr

Portanto, a derivada da área da esfera em relação ao raio é A'(r) = 8πr.

V/A = [(4/3)πr3] / [4πr2] OU V/A = r/3

Derivada em relação ao raio (r): (d/dr) (V/A) = (d/dr) (r/3) = 1/3

Portanto, a derivada de V/A em relação ao raio (r) é 1/3.

- PIRÂMIDE QUADRANGULAR: A fórmula do volume de uma pirâmide é V(B, h) = (1/3)Bh

Derivada em relação à área da base (B): V'(B) = d/dB [(1/3)Bh] = (1/3)h

Derivada em relação à altura (h): V'(h) = d/dh [(1/3)Bh] = (1/3)B

Portanto, a derivada do volume da pirâmide em relação à área da base é V'(B) = (1/3)h, e em relação à altura é V'(h) = (1/3)B.

Derivada em relação à área da base (B): A'(B) = d/dB (P + B) = 1

Portanto, a derivada da área da pirâmide em relação à área da base é A'(B) = 1

Para calcular a derivada de V/A em relação à área da base (B) ou à altura (h):

Derivada em relação à área da base (B): (d/dB) (V/A) = [(d/dB) ((1/3)Bh)] / [(d/dB) A] = (1/3)h / 1 = (1/3)h

Derivada em relação à altura (h): (d/dh) (V/A) = [(d/dh) ((1/3)Bh)] / [(d/dh) A] = (1/3)B / 1 = (1/3)B

Portanto, a derivada de V/A em relação à área da base (B) é (1/3)h, e em relação à altura (h) é (1/3)B.

2) Verificar pontos de máxima e mínima de da razão entre o volume e área de cada sólido.

- CUBO: A razão entre o volume e a área é dada por V/A = (l3) / (6l2) = l/6.

Para encontrar os pontos de máxima e mínima, derivamos essa razão em relação a "l":