As Folhas de Apoio da disciplina de Teoria dos Sinais e dos Sistemas

 

 

 

 

NÚMEROS COMPLEXOS

Folhas de Apoio da disciplina de Teoria dos Sinais e dos Sistemas

[pic 1]

 

 

 

 

 

 

 

Abril de 2004

Isabel Milho

 

 

Secção de Análise de Sinais

Departamento de Engenharia de Electrónica e de Telecomunicações e de Computadores

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

Índice

 

1. Representação de Números Complexos............................................................................................. 1 
2. Complexo Conjugado............................................................................................................................ 1 
3. Adição, Multiplicação e Divisão ........................................................................................................... 1 
4. Relações Úteis ....................................................................................................................................... 1 5. MATLAB .................................................................................................................................................... 2 

6. Exemplos................................................................................................................................................ 3 Bibliografia....................................................................................................................................................... 4 

 

Figura 1: O plano complexo.    PLANO COMPLEXO         Na Figura 1 vêm ilustradas as representações cartesiana e polar para o número complexo z. Esta DIAGRAMA  - ARGAND         plano complexo (ou diagrama representação geométrica dos números complexos é conhecida por   FÓRMULA DE EULER         de Argand). Através da Figura 1, ou usando a fórmula de Euler,                   e jθ= cosθ+ jsinθ,         (3)            as relações entre as representações cartesiana e polar são POLAR→CARTESIANA                   a = rcosθ b = rsinθ,         (4)   CARTESIANA→POLAR         r = a2 +b2 θ= arctan b .         (5) [pic 2][pic 3]    a   Complexo Conjugado          O complexo conjugado de z é designado por z* e é dado por   COMPLEXO         ∗        a        jb        re jθ .         (6) CONJUGADO                  z = − = Adição, Multiplicação e Divisão  Sejam os números complexos z1 = a1 + jb1 e z2 = a2 + jb2. Para a adição de complexos temos de  usar a representação cartesiana.,     ADIÇÃO                  z1 + =z2        (a1 + jb1)+(a2 + jb2) =(a1 +a2)+ j(b1 +b2) .         (7)   Para a multiplicação e a divisão, ambas as representações são possíveis para obter o resultado. Na
forma cartesiana, temos que MULTIPLICAÇÃO                  z z1 2 =(a1 + jb1)(a2 + jb2) =(a a1 2 −bb1 2)+ j(a b1 2 +b a1 2) ,            z1        a1 + jb1        (a1 + jb1)(a2 − jb2)        (a a1 2 +bb1 2)+ j(−a b1 2 +b a1 2) DIVISÃO                  =        =        =        a22 +b22        .          z2        a2 + jb2        (a2 + jb2)(a2 − jb2)[pic 4]          Na forma polar o resultado é imediato. Sendo z1 = r1ejθ1 e z2 = r2ejθ2 , vem   MULTIPLICAÇÃO                  z z1 2 = re1 jθ1r e2 jθ2 = rr e1 2 j(θ1+θ2) ,            z12        re21 jjθθ12        rr12 e j(θ1−θ2) . [pic 5]                  =        = DIVISÃO         z        r e           Relações Úteis	(8) (9) (10) (11)
Usando a definição de complexo conjugado (6), temos algumas relações úteis:  RELAÇÕES ÚTEIS         * r2 ,          zz =                   z + =z*        2Re[ ]z ,	(12) (13)

        1.         Representação de Números Complexos [pic 6]

FORMA CARTESIANA     PARTES REAL E   IMAGINÁRIA    FORMA POLAR    MÓDULO E  FASE	Seja um número complexo z, que expresso na forma cartesiana (rectangular ou algébrica) vem
z = a + jb , onde j = −1 ,  a = Re[z] é a parte real de z e b = Im[z] é a parte imaginária de z, [pic 7] Na forma polar, o número complexo z vem          z = re jθ, onde r > 0 é o módulo de z , r = |z|, e θ = arg[z] é o ângulo (ou fase) de z.	(1) (2)

 

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