As Integrais de Linha em Campos Escalares

[pic 1]                 FOLHA DE QUESTÕES
CURSO:	DISCIPLINA:
BÁSICO DAS ENGENHARIAS	Cálculo Diferencial e Integral 3
Professor: Thiago Maciel de Oliveira	Lista de Exercícios: Integrais de Linha em Campos Escalares

1) Encontre a integral de linha de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 sobre o segmento de reta de

(1,2,3) a (0, −1,1).

[pic 2]

2) Integre 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + √𝑦 − 𝑧2 sobre o caminho de (0,0,0) a (1,1,1) dado por

𝐶1: 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗, 0 ≤ 𝑡  ≤ 1

𝐶2: 𝑟(𝑡) = 𝑖 + 𝑗 + 𝑡𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

3) Uma mola helicoidal está ao longo da hélice 𝑟(𝑡) = (cos 4𝑡)𝑖 + (sen 4𝑡)𝑗 + 𝑡𝑘, 0 ≤

𝑡 ≤ 2𝜋. A densidade da mola é uma constante, 𝛿 = 1. Encontre a massa, o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação, em relação ao eixo 𝑧, da mola.

6) Um arco metálico fino, mais denso na base que no topo, encontra-se ao longo de uma semicircunferência 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 𝑧 ≥ 0 no plano 𝑦𝑧. Encontre o centro de massa do arco se a densidade no ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) do arco for 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 − 𝑧.

1. Encontre a massa de um arame que está sobre a curva 𝑟(𝑡) = (𝑡2 − 1)𝑗 + 2𝑡𝑘, 0 ≤

𝑡 ≤ 1, se a densidade for 𝛿 = (3/2)𝑡.

[pic 3]

1. Um fio de densidade 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 15√𝑦 + 2 está ao longo da curva 𝑟(𝑡) =

(𝑡2 − 1)𝑗 + 2𝑡𝑘, −1 ≤ 𝑡 ≤ 1. Encontre seu centro de massa. Depois, esboce a curva juntamente com o centro de massa.

[pic 4]

Gabarito 1)

𝑟(𝑡) = (1 − 𝑡)𝑖 + (2 − 3𝑡)𝑗 + (3 − 2𝑡)𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

𝑣(𝑡) = −𝑖 − 3𝑗 − 2𝑘[pic 5][pic 6]

|𝑣(𝑡)| = √(−1)2 + (−3)2 + (−2)2 = √14

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 = ∫1(1 − 𝑡 + 2 − 3𝑡 + 3 − 2𝑡)√14 𝑑𝑡 = 3√14[pic 7][pic 8]

𝐶        0

2)

𝐶1:

𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

𝑣(𝑡) = 1𝑖 + 2𝑡𝑗[pic 9][pic 10]

|𝑣(𝑡)| = √(1)2 + (2𝑡)2 + (0)2 = √1 + 4𝑡2

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 = ∫1(𝑡 + √𝑡2 − 02) √1 + 4𝑡2𝑑𝑡 = ∫1 2𝑡 √1 + 4𝑡2𝑑𝑡 (já que 0 ≤ 𝑡).[pic 11][pic 12][pic 13]

𝐶1        0        0[pic 14]

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 = 5√5 − 1

6[pic 15]

𝐶1

𝐶2:

𝑟(𝑡) = 𝑖 + 𝑗 + 𝑡𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

𝑣(𝑡) = 𝑘[pic 16]

|𝑣(𝑡)| = √02 + 02 + 12 = 1

1        1

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 = ∫ (1 + √12 − 𝑡2) (1)𝑑𝑡 = ∫(2 − 𝑡2) 𝑑𝑡 = 5[pic 17][pic 18]

3

𝐶2        0        0[pic 19][pic 20]

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 + ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 = 5 √5−1 + 5 = 5√5 + 3

[pic 21]        [pic 22]        [pic 23]

𝐶        𝐶1

3)

---

𝐶2

---

6        3        6        2

𝑣(𝑡) = (−4sen 4𝑡)𝑖 + (4 cos 4𝑡)𝑗 + 1[pic 24][pic 25]

|𝑣(𝑡)| = √(−4sen 4𝑡)2 + (4cos 4𝑡)2 + 12 = √17

Massa: ∫        𝛿 𝑑𝑠 = ∫2𝜋(1)√17 𝑑𝑡 = 2𝜋√17[pic 26][pic 27]

𝐻é𝑙𝑖𝑐𝑒        0

Momento de inércia em relação ao eixo 𝑧: 𝐼𝑧 = ∫        (𝑥2 + 𝑦2)𝛿 𝑑𝑠 = ∫2𝜋(cos2 4𝑡 +