As Propriedades de uma distribuição normal

Distribuição de probabilidades normais

Propriedades de uma distribuição normal

        Uma distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua para uma variável aleatória x . O gráfico de uma distribuição normal é chamado de curva normal . Uma distribuição normal tem as seguintes propriedades :

1 . A média , a mediana  e a moda são iguais .

2. Uma curva normal tem a forma de sino e é simétrica em torno da média .

3. A área total sob a curva normal é igual a um .

4. Á medida que a curva normal se distancia cada vez mais da média , ela se aproxima do eixo x ,mas nunca o toca .

5. Entre           (no centro da curva) , o gráfico se curva para baixo .O gráfico se curva para cima á esquerda de      e á direita de     .Os pontos nos quais a curva muda de crescimento para descrescente  são chamados de pontos de inflexão .

           Para uma distribuição de probabilidade contínua , você pode usar a função densidade de probabilidade (fdp). Uma curva normal com média    e desvio padrão    pode ser representada  graficamente usando a função densidade de probabilidade normal .

Uma distribuição normal pode ter qualquer média e qualquer desvio padrão positivo . Esses dois parâmetros    e     determinam completamente o formato da curva normal . A média dá a localização da linha de simetria e o desvio padrão descreve o quanto os dados são estendidos .

Exemplo 1

Entendendo a média e o desvio padrão

1. Qual curva normal tem uma média maior ?
2. Qual curva normal tem um desvio padrão maior ?

Solução

1. A linha da simetria da curva A ocorre em x = 15, A linha de simetria da curva B ocorre em x = 12 . Portanto , a curva A tem uma média maior .
2. A curva B é mais estendida do que a curva A ; portanto , a curva B tem um desvio padrão maior

Exemplo 2

Interpretando gráficos  de distribuições normais

As alturas (em pés) de árvores de carvalho adultas são normalmente distribuídas . A curva normal representada a seguir mostra essa distribuição . Qual é a média da altura de uma árvore de carvalho adulta ? Estime o desvio padrão dessa distribuição normal .

       Solução

Como uma curva normal é simétrica em torno da média , você pode estimar que   ~ 90 pés .

Como os pontos de inflexão são um desvio padrão da média , você pode estimar que o ~ 3,5 pés.

Interpretação

As alturas de árvores de carvalho normalmente são distribuídas com uma média de cerca de 90 pés e um desvio padrão de aproximadamente 3,5 pés .

A distribuição normal padrão

Existe uma infinidade de distribuições normais , cada uma com a sua própria média e desvio padrão . A distribuição normal com uma média de 0 e um desvio padrão de 1 é chamada de  distribuição normal padrão .A escala horizontal do gráfico da distribuição normal padrão corresponde ao z-escore  , é uma medida de posição que indica o número de desvios padrão de um valor a partir da média .

Z= Valor - Média

Desvio padrão

Z=x-

O

Definição

A distribuição normal padrão é uma distribuição normal com uma média de 0 e um desvio padrão de 1 .

Se cada valor de uma variável aleatória x distribuída normalmente é transformado em um z-escore , o resultado será a distribuição normal padrão . Quando essa transformação acontece , a área que cai no intervalo sob a curva normal não padrão é a mesma que aquela sob a curva normal padrão dentro das fronteiras z correspondentes .

Propriedades da distribuição normal padrão

1. A área acumulada é perto de 0 para z-escores próximas a z=3,49.
2. A área acumulada aumenta conforme as pontuações z aumentam .
3. A área acumulada para z = 0,5000.
4. A área acumulada é próxima a 1 para z-escores próximas a z=3,49.

Exemplo 3

Usando a tabela normal padrão

1. Encontre a área acumulada que corresponde a z-escore de 1,15
2. Encontre a área acumulada que corresponde a z-escore de -0,24

Solução

1. Encontre a área que corresponde á z=1,15 encontrando 1,1 na coluna á esquerda e depois cruzando a fileira para a coluna sob 0,05. O número naquela fileira e coluna é 0,8749. Então , a área á esquerda de z=1,15 é 0,8749.
2. Encontre a área que corresponde a z= -0,24 encontrando -0,2 na coluna á esquerda e depois cruzando a fileira para a coluna sob 0,04 . O número naquela fileira e coluna é 0,4052 . Então , a área á esquerda de z=-0,24 é 0,4052.

Distribuições normais : encontrando probabilidades

Probabilidade e distribuições normais

Se uma variável aleatória x é normalmente distribuída , você pode encontrar a probabilidade de x cair em um dado intervalo ao calcular a área sob a curva normal para um dado intervalo. Para encontrar a área sob qualquer curva normal , você pode , primeiro , converter os limites superiores e inferiores do intervalo para z-escores. Depois usar a distribuição normal padrão para encontrar a área . Por exemplo considere uma curva normal com u=500e o=100, como no gráfico superior a esquerda . O valor de x um desvio padrão acima da média é u+o=500+100=600.

Exemplo 1

Encontrando probabilidade para distribuições  normais

Uma pesquisa indica que as pessoas usam seus computadores por uma média de 2,4 anos antes de trocá-los por máquina nova. O desvio padrão é 0,5 anos . Um dono de computador é selecionado de forma aleatória .Encontre a probabilidade de que ele vá usar o computador por menos de 2 anos antes de trocá- lo .A variável x é normalmente distribuída.

Solução

O gráfico mostra uma curva normal u = 2,4 e o = 0,5 e uma área sombreada para x menor que 2.O z –escore que corresponde a 2 anos é :