Autovalores e Autovetores Definição e Aplicação

Autovalores e autovetores

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FACULDADE DE ENGENHARIA – FEIS

Autovalores e Autovetores: definição e aplicações

Professor João Angelo Ferres Brogin

GUILHERME GRATON ORLANDO – RA: 191051861

Ilha Solteira, 2020

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FACULDADE DE ENGENHARIA – FEIS

Autovalores e Autovetores: definição e aplicações

Professor João Angelo Ferres Brogin

Relatório realizado por Aluno de Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Estadual Paulista “Júlio De Mesquita Filho” referente à disciplina Geometrica Analítica e Álgebra Linear (909-ST1-CEM)

Ilha Solteira, 2020

Sumário

1. INTRODUÇÃO.......................................................................................................4
2. OBJETIVO..............................................................................................................5
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...........................................................................6

1.  Introdução à Álgebra Linear.......................................................................6
2. Autovalores e Autovetores de uma matriz..................................................7

1. APLICAÇÃO..........................................................................................................9
2. CONCLUSÃO......................................................................................................12
3. REFERÊNCIAS....................................................................................................13

1. INTRODUÇÃO

O tema de autovalores e autovetores é bastante amplo e com várias aplicações em diversas áreas das ciências exatas, desde somente operações matemáticas até analises de dados, sistemas dinâmicos e ordenação computacional.

        De forma superficial, o autovalor λ de uma matriz A é um valor independente de variáveis que representa o aumento ou diminuição de um vetor após a operação do autovetor, sendo que um autovetor de A é um vetor não nulo que mantém a característica de direção, podendo aumentar ou diminuir a sua norma, dependendo do seu autovalor.

        

1. OBJETIVO

Esse trabalho tem como objetivo apresentar as definições de autovalores e autovetores, bem como conceitos básicos de Álgebra Linear, além de discorrer sobre aplicações dessas operações na área da engenharia mecânica. Através de pesquisas bibliográficas, são apresentados dados e comprovações acerca do tema, juntamente com uma análise rápida sobre a utilização de autovalores para resolução de problemas.

1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
   3.1. Introdução à Álgebra Linear

Um tópico importante, quase que fundamental para o que vem em seguida, são as matrizes e operadores matriciais; mas, para isso, é necessário aprender sua notação. Dito isso, é importante saber que os conjuntos são representados por ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, sendo o conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, respectivamente.

Para a representação de uma matriz com m linhas e n colunas, usa-se o conjunto de todas as matrizes m x n, denotado por ℝ mxn caso sejam reais os algarismos, ou ℂ mxn caso esses sejam complexos.

Uma matriz A é composta por m.n elementos, sendo representado por aij em que i é a linha e j, a coluna na qual se encontra. A matriz transposta de A é representada por AT. A matriz inversa de A é representada por A-1, e a matriz inversa da transposta de A é representada por A-T. A matriz identidade é denotada I ou In, ocultando ou explicitando sua ordem. O determinante de A será dado por det A.

Definição 1 – Espaços Vetoriais  

É dito que um conjunto V não nulo e não vazio é um espaço vetorial se, e somente se, utilizando as operações de soma e multiplicação, possam ser verificadas os seguintes axiomas:

        Para a adição:

1. Associatividade: (u + v) + w = u + (v + w), Ɐ u, v, w ∈ V;
2. Comutatividade: (u + v) = (v + u), Ɐ u, v ∈ V;
3. Elemento neutro (aditivo): existe um vetor neutro dado por 0 de forma que Ɐ u ∈ V, u + 0 = u;
4. Elemento inverso: Ɐ u ∈ V, existe –u ∈ V, de forma que u + (–u) = 0.

Para a multiplicação:

                Sendo α e β constantes pertencente ao conjunto dos reais (α, β ∈ ℝ)

1. Associatividade: (αβ) u = α (βu), Ɐ u ∈ V;
2. Distributividade: α (u +v) = αu + αv, Ɐ u, v ∈ V;
3. Distributividade: (α + β) u = αu + βu;
4. Elemento neutro (multiplicativo): existe um elemento neutro de forma que 1u = u, Ɐ u ∈ V

Dessa forma, se o conjunto V satisfizer todos os oito axiomas, pode-se dizer que V é um espaço vetorial de ℝ ou ℂ.

Definição 2 – Transformções lineares

        Tranformação linear é uma aplicação entre dois conjuntos. Dados U e V dois conjuntos não vazios, uma transformção linear é uma operação que associa um elemento u de U a um único elemento v de V. Dada por T, uma transformação de U em V é representada por: