CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO

ETAPA 1: AULA-TEMA: CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO. ESSA ATIVIDADE É IMPORTANTE PARA PODER VERIFICAR A APLICAÇÃO DA DERIVADA INSERIDA EM CONCEITOS BÁSICOS DA FÍSICA. A NOÇÃO INTUITIVA DE MOVIMENTO, VELOCIDADE, ACELERAÇÃO É ALGO INTRÍNSECO A TODOS, JÁ QUE É ALGO NATURAL. NO ENTANTO, QUANDO VISTO SOB UM OLHAR CRÍTICO CIENTÍFICO, PODE SE OBSERVAR AS LEIS DA FÍSICA, EM QUE AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS E REGRAS DE DERIVAÇÃO BÁSICA ESTÃO INTIMAMENTE LIGADAS A ESSAS LEIS. PARA REALIZÁ-LA, DEVE SER SEGUIDA A PASSOS DESCRITA.

PASSO 1 (EQUIPE)

PESQUISAR O CONCEITO DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA A PARTIR DO LIMITE, COM Δt = 0 COMPARAR A FÓRMULA APLICADA NA FÍSICA COM A FÓRMULA USADA EM CÁLCULO E EXPLICAR O SIGNIFICADO DA FUNÇÃO V= (VELOCIDADE INSTANTÂNEA), A PARTIR DA FUNÇÃO S (ESPAÇO), UTILIZANDO O CONCEITO DA DERIVADA QUE VOCÊ APRENDEU EM CÁLCULO, MOSTRANDO QUE A FUNÇÃO VELOCIDADE É A DERIVADA DA FUNÇÃO ESPAÇO. DAR UM EXEMPLO, MOSTRANDO A FUNÇÃO VELOCIDADE COMO DERIVADA DA FUNÇÃO DO ESPAÇO, UTILIZANDO NO SEU EXEMPLO A ACELERAÇÃO COMO SENDO A SOMATÓRIA DO ÚLTIMO ALGARISMO QUE COMPÕE O RA DOS ALUNOS INTEGRANTES DO GRUPO.

RESPOSTA

A VELOCIDADE INSTANTÂNEA É QUANDO QUEREMOS SABER QUAL A VELOCIDADE DE UM DETERMINADO OBJETO EM UM INSTANTE NO TEMPO, FAZENDO-O TENDER A 0. POR EXEMPLO: SABEMOS QUE UM AUTOMÓVEL ESTÁ PERCORRENDO UMA ESTRADA A UMA VELOCIDADE MÉDIA DE 10 KM/H, ISSO SIGNIFICA QUE ELE PERCORRE UMA DISTÂNCIA DE 10KM EM 1 HORA, MAS DURANTE ESTA 1HORA ELE IRÁ ACELERAR, FREAR, CONSECUTIVAMENTE... ENTÃO, SE QUISERMOS SABER A VELOCIDADE DESTE AUTOMÓVEL, EM CADA INSTANTE DESTA 1 HORA, PRECISARÁ UTILIZAR A VELOCIDADE INSTANTÂNEA A PARTIR DO LIMITE.

A VELOCIDADE EM QUALQUER INSTANTE DE TEMPO É OBTIDA A PARTIR DA VELOCIDADE MÉDIA REDUZINDO-O SE O INTERVALO DE TEMPO Δt, FAZENDO-O TENDER A ZERO. Á MEDIDA QUE Δt É REDUZIDO, A VELOCIDADE MÉDIA SE APROXIMA DE UM VALOR LIMITE, QUE É A VELOCIDADE NAQUELE INSTANTE.

V=LIM → Δs = Ds

Δt→ 0 Δt = Dt

A IDEIA FUNDAMENTAL AQUI É QUE A VELOCIDADE É A PRIMEIRA DERIVADA (EM RELAÇÃO AO TEMPO) DA FUNÇÃO POSIÇÃO Ѕ (Τ).

DEIXA-SE BEM CLARO QUE QUANDO ACELERAÇÃO É A DERIVADA DA FUNÇÃO S COMO NO EXEMPLO ABAIXO:

(S)=4t^3+ 3t^2+ 8t-10 DERIVADA (S) = (V) (V)=12t^2+ 6t+8 DERIVADA (V) = (A) (A)=24t+6

EM RESUMO: DERIVADA (S) = FORMULA DE (V) E DERIVADA (V) = FORMULA (A).

EXEMPLO PRATICO:

DADA A FUNÇÃO (S) =4t^3+ 3t^2+ 8t-10 CALCULE A:

VELOCIDADE NO TEMPO 3s

(S)=4t^3+ 3t^2+ 8t-10 → (V)=12t^2+ 6t+8 →(V)=12 x 3^2+ 6 x 3

(V)= 108+18 →(V)=126 m/S

ACELERAÇÃO NO TEMPO 2s

(V)=12t^2+ 6t+8 →(A)= 24t+6 →(A)= 24 x 2+6 →(A)= 54 m/s^2

DAR UM EXEMPLO, MOSTRADO A FUNÇÃO VELOCIDADE COMO DERIVADA DA FUNÇÃO ESPAÇO, UTILIZANDO NO SEU EXEMPLO A ACELERAÇÃO COMO SENDO A SOMATÓRIA DO ÚLTIMO ALGARISMO QUE COMPÕE O RA DOS ALUNOS INTEGRANTES DO GRUPO.

ALENCAR RA: 4237842134

ANA PAULA RA: 4246846729

CAROLINE RA: 4297821079

CLARKSON RA: 3715651463

LINDERSON RA: 3714654307

MARCELO RA 3715660044

TELMA RA: 1299190680

SOMATÓRIA DE RAS = ACELERAÇÃO

ACELERAÇÃO = 4+9+9+3+7+4+0 = 36 m/s^2 O TEMPO ENCONTRADO FOI 1,25 s

PRIMEIRO CALCULAR A DISTANCIA OU S:

(S)=4t^3+ 3t^2+ 8t-10

(S)= 4 x (〖1,25)〗^(3 )+ 3 x (1,25)^2+ 8 x 1,25-1

(S)= 4 x 1,953125+3 x 1,5625+8 x 1,25-10

(S)= 7,8125+4,6875+10-10

(S)= 12,5 m

DEPOIS CALCULAR AO (V) QUE É A DERIVADA DE (S):

(V)= 12t^2+ 6t+8

(V)= 12 x 〖(1,25)〗^2+ 6 x 1,25+8

(V)= 18,75+7,5+8

(V)= 34,25 m/s

DEPOIS CALCULAR AO (A) QUE É A DERIVADA DE (V):

(A)= 24t+6 →(A)= 24 x 1,25

(A)= 30+6 →(A)= 36〖m/s〗^2

PASSO 2 (EQUIPE)

MONTAR UMA TABELA, USANDO SEU EXEMPLO ACIMA, COM OS CÁLCULOS E PLOTE NUM GRÁFICO AS FUNÇÕES S(M) X T(S) E V(M/S) X T(S) PARA UM INTERVALO ENTRE 0 A 5S, DIGA QUE TIPO DE FUNÇÃO VOCÊ TEM E CALCULAR A VARIAÇÃO DO ESPAÇO PERCORRIDO E A VARIAÇÃO DE VELOCIDADE PARA O INTERVALO DADO. CALCULAR A ÁREA FORMADA PELA FUNÇÃO DA VELOCIDADE, PARA O INTERVALO DADO ACIMA.

RESPOSTA

PARA TABELA E GRAFICO S(m) x T(s): (S)=4t^3+ 3t^2+ 8t-10

t=0 →(S)= 4 x 0^3+ 3 x 0^2+ 8 x 0-10→(S)= -10 m

t=1 →(S)= 4 x 1^3+ 3 x 1^2+ 8 x 1-10→(S)= 5 m

t=2 →(S)= 4 x 2^3+ 3 x 2^2+ 8 x 2-10→(S)= 50 m

t=3 →(S)= 4 x 3^3+ 3 x 3^2+ 8 x 3-10→(S)= 149 m

t=4 →(S)= 4 x 4^3+ 3 x 4^2+ 8 x 4-10→(S)= 326 m

t=5 →(S)= 4 x 5^3+ 3 x 5^2+ 8 x 5-10→(S)= 605 m

TEMPO = T (s) DISTANCIA = S (m)

0 -10

1 5

2 50

3 149

4 326

5 605

PARA TABELA E GRAFICO V(m) x T(s): (V)= 12t^2+ 6t+8

t=0 →(V)=12 x 0^(2 )+ 6 x 0+8 →(V)= 8 m/s

t=1 →(V)=12 x 1^(2 )+ 6 x 1+8 →(V)= 26 m/s

t=2 →(V)=12 x 2^(2 )+ 6 x 2+8 →(V)= 68 m/s

t=3 →(V)=12 x 3^(2 )+ 6 x 3+8 →(V)= 134 m/s

t=4 →(V)=12 x 4^(2 )+ 6 x 4+8 →(V)= 224 m/s

t=5 →(V)=12 x 5^(2 )+ 6 x 5+8 →(V)= 338 m/s

TEMPO = T(S) VELOCIDADE = V(m/s)

0 8

1 26

2 68

3 134

4 224

5 338

PASSO 3 (EQUIPE)

PESQUISAR SOBRE A ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA DE UM CORPO MÓVEL, QUE DEFINE A ACELERAÇÃO COMO SENDO A DERIVADA DA FUNÇÃO VELOCIDADE. EXPLICAR O SIGNIFICADO DA ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA A PARTIR DA FUNÇÃO S (ESPAÇO), MOSTRANDO QUE É A ACELERAÇÃO É A DERIVADA SEGUNDA. UTILIZAR O EXEMPLO DO PASSO 1 E MOSTRAR QUEM É A SUA ACELERAÇÃO A PARTIR DO CONCEITO DE DERIVAÇÃO APLICADA A SUA FUNÇÃO ESPAÇO E FUNÇÃO VELOCIDADE.