Circulo de Mohr para Tensões Planas

Círculo de Mohr para tensões planas

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São repetidas abaixo as igualdades para as tensões normais e transversais conforme primeiro tópico da página anterior.

σ = (σy + σx) / 2 + [ (σy − σx) cos 2φ ] / 2 + τxy sen 2φ.

τ = [ (σy − σx) sen 2φ ] / 2 − τxy cos 2φ.

Elas podem ser rearranjadas para

σ  − [ (σy + σx) / 2 ] = [ (σy − σx) / 2 ] cos 2φ + τxy sen 2φ.

τ = [ (σy − σx) / 2 ] sen 2φ − τxy cos 2φ.

Fazendo d = (σy − σx) / 2 e elevando ambas ao quadrado e somando,

{ σ  − [ (σy + σx) / 2 ] }2 + τ2 =

d2 cos2 2φ + τxy2 sen2 2φ + 2 d cos 2φ τxy sen 2φ + d2 sen2 2φ + τxy2 cos2 2φ − 2 d sen 2φτxy cos 2φ.

Portanto, { σ  − [ (σx + σy) / 2 ] }2 + τ2 = d2 + τxy2 = [ (σx − σy) / 2 ]2 + τxy2.

A tensão média é dada pela expressão σm = (σx + σy) / 2 #A.1#.

Considera-se também R2 = [ (σx − σy) / 2 ]2 + τxy2 #B.1#.

E a equação anterior fica resumida a

(σ  − σm)2 + τ2 = R2 #C.1#. Onde σm e R são dados pelas expressões anteriores #A.1# e #B.1#.

A igualdade acima permite concluir que, num sistema de coordenadas ortogonais (σ τ), os valores das tensões normais e transversais estão em um círculo de raio R e centro em (σm, 0). É denominado círculo de Mohr em homenagem ao engenheiro alemão Otto Mohr.

A Figura 01 dá exemplo de um círculo de Mohr traçado a partir de um determinado conjunto de valores σx, σy e τxy.

[pic 1]

Fig 01

O centro do círculo é determinado pela tensão média. Assim, OC = σm = (σy + σx)/2. E o raio é definido conforme #B.1#.

Se OI é igual a σy, IE é igual a τyx. O ponto diametralmente oposto (F) corresponde a σx e τxy (que é igual em módulo a τyx, conforme página anterior).

Observar a diferença de 180º que corresponde a 2φ, isto é, o ângulo de 90º entre os eixos x e y.

OA é a tensão mínima σ2 e OB a máxima σ1. Assim, CB e CA representam os planos principais.

Notar que a tensão de cisalhamento τ é nula em B e em A, conforme página anterior. As direções de cisalhamentos máximo e mínimo (CH e CG) estão deslocadas de 2φ = 90° ( ou φ = 45°) dos planos principais, também conforme página anterior.

O ângulo entre CB e CE (2φp) representa o ângulo φp entre o plano y e o principal 1.

[pic 2]

Fig 02

Nas direções de máximo e mínimo cisalhamento (CG e CH), as tensões normais são idênticas e iguais a σm.

Pela simetria do círculo, pode-se notar que a soma σx + σy é constante.

Alguns casos particulares para o círculo de Mohr são exibidos na Figura 02: tração simples em (a), compressão simples em (b) e cisalhamento simples em (c).

Círculo de Mohr - Resumo

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Este tópico procura apresentar resumidamente os conceitos e igualdades anteriores na intenção de facilitar o uso prático do círculo de Mohr.

Em (a) da Figura 01, há um elemento submetido a um estado plano de tensão. O círculo de Mohr correspondente é traçado num sistema de coordenadas ortogonais τ σ (tensão de cisalhamento x tensão normal) com os parâmetros: