Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Etapa 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Passo 1

Em geral velocidade instatânea nada mais é do que a rapidez com a qual um corpo se move em um determinado instante de tempo ∆t.

A partir da velocidade média, é possivel  se obter a velocidade em um dado instante, bastando para isso, reduzir o intervalo de tempo ∆t até torna-lo proximo de zero. Com a diminuição do valor de ∆t, a velocidade média se aproxima cada vez mais de um valor limite, que é a velocidade instantânea.

[pic 1]

Assim v é a taxa com a qual a posição x varia com o tempo em um dado instante, ou seja, v é a derivada de x em relação a t.

Exemplo:

Um ponto móvel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de um ponto O.

[pic 2]

Figura 1

O deslocamento s, de M, em relação ao ponto O, e a distância de O a M.

0=origem;

S=espaço ou deslocamento;

T= tempo;

M=móvel.

O deslocamento do móvel depende do tempo. Sem o tempo não existe um meio de medir a velocidade.

 De acordo com a figura 1 no instante t0, o deslocamento de M é S0=S(t0). Já no instante posterior t1, o deslocamento de M é S1= S(t1). Isso acontece sucessivamente até um n qualquer.

M →S0= S(t0), S1= S(t1), S2= S(t2),S3= S(t3), S1= S(t1),...........................Sn= S(tn).

[pic 3]

Figura 2

Poder-se escrever t1= t0 +∆t, ou seja, ∆t=t1-t0.

Outras forma seriam:

[pic 4]

                                                                                ↓

[pic 5]

∆ é usado para expressa variação entre intervalos.

Figura 3

[pic 6]

De um modo geral, definimos a velocidade instantânea V(t0) usado a derivada através do conceito de limite, do ponto M, no instante t0, como sendo o limite da velocidade média no intervalo de t0 a t0 +∆t, quando    ( Esta foi uma ideia de Isaac Newton), Escrevemos:[pic 7]

[pic 8]

De acordo com Newton temos um intervalo cada vez menor, mas nunca nulo ou 0.

O conceito de derivada é usado em física com toda certeza, no entanto em física apenas o uso do calculo não é suficiente para alcançar um resultado satisfatório, é preciso também usar a grandezas nas devidas proporções.

tempo	S(segundo)
velocidade	Km/h, m/s
Aceleração	m/s2

 

Na física as constantes não são apenas números, por exemplo, se dissermos que o número 7 é uma constante, então será necessário um significado para ter sentido, por exemplo 7 km, 7horas, 7m/s2 .

Para entrar de vez em calculo vamos mostrar o uso da derivação através da função de espaço para chegar à função de velocidade e provar que ambas estão relacionada com o tempo.

Função de velocidade → Derivada da função de espaço:

[pic 9]

Na física consideramos S, V e a como constante e t como variável. Pois minha função v(t) :

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Reescrevendo a derivada temos:

[pic 13]

Fazendo outros exemplos temos:

[pic 14]

[pic 15]

Reescrevendo:

[pic 16]

[pic 17]

No próximo exemplo será usado como a aceleração, o somatório do último algarismo do RA de cada integrante do grupo.

ALUNO	RA	ULT. ALGARISMO
MAGNO	8075862704	4
DANIEL	8634246305	5
ARNALDO J.	8487206366	6
ENIS	8406262003	3
RAFAEL		9
JEAN	8074856780	0

O somatório é S=4+5+6+3+9+0 que equivale a uma aceleração de 27 m/ s2

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Para exemplificar de modo claro vamos fazer uso de uma situação hipotética na qual o alunos projetam um carro elétrico e para verificar sua eficiência e funcionamento. Serão efetuados testes para saber o deslocamento e através da função de espaço derivar para encontrar velocidade. Tudo isso será demonstrado através de tabela e gráfico.

Dados da FUNÇÃO de espaço:

S=? Espaço final        

S0=0m espaço inicial

V0= 0 m/s velocidade inicial

a=27m/s2  aceleração

t=0 a 5 s tempo

[pic 21]

[pic 22]

DERIVAÇÃO DA FUNÇÃO DE ESPAÇO:

[pic 23]

[pic 24]

TABELA DE ESPAÇO EM FUNÇÃO DE TEMPO
t(s)	S=27.t^2	S(m)
0	S=27.(0)^2	0
1	S=27.(1)^2	27
2	S=27.(2)^2	108
3	S=27.(3)^2	243
4	S=27.(4)^2	432
5	S=27.(5)^2	675

TABELA DE VELOCIDADE EM FUNÇÃO DE TEMPOV(t)
t(s)	V=54.t	V(ms)
0	V=54.0	0
1	V=54.1	54
2	V=54.2	108
3	V=54.3	162
4	V=54.4	216
5	V=54.5	270

[pic 25]

De acordo com gráfico Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima. Usado a equação da área de um triangulo :