Equação Geral do Plano Calculo Numérico

Equação Geral do Plano[pic 1][pic 2]

Seja A(x1, y1, z1) um ponto E à um plano π e  (a, b, c),  ≠ , um vetor normal (ortogonal) ao plano. Como   π,  é ortogonal a todo vetor representado em π. Então um ponto P(x, y, z) pertence à π se, e somente se, o vetor  é ortogonal à , isto é,[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

          n ∙ (P-A) = 0

              ou

(a, b, c) ∙ (x - x1, y – y1, z – z1) = 0

              ou

a( x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0[pic 19]

            ou ainda                                                            [pic 20]

ax + by + cz  = 0[pic 22][pic 21]

                                 d

Observações

1. Assim como  = (a, b, c) é um vetor normal a π, qualquer vetor K, K ≠ 0, é também vetor normal ao plano.[pic 23][pic 24]

1. a, b, c representam componentes de um vetor normal ao plano.

π = 3x + 2y – 2 + 1 = 0

        n = (3, 2, -1)

1. Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir valores arbitrários à duas variáveis e calcula o valor da outra na equação dada

( x=4 e y=-2) => 3(4) – 2(-2) – 2 + 1 = 0

                             12 – 4 – 2 + 1 = 0

                                z = 9                logo, A(4, -2, 9)

Exemplos

1. Obter uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, -1, 3) e tem =(3, 2, -4) como vetor normal [pic 25]

[pic 26]

Como  é ortogonal                                     n=(a, b, c)[pic 27]

        [pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

ax + by+ cz + d = 0[pic 35]

        3x + 2y – 4c + d = 0        [pic 36][pic 37][pic 38]

        A é ponto

        3(2) + 2(-1) – 4(3) + d = 0

        6 – 2 – 12 + d= 0[pic 39]

        d = 8                        Logo

1. Escrever uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A( 2, 1, 3) e é paralelo ao plano π1 : 3x – 4y – 2z + 5 = 0[pic 40][pic 41]

n = (3, -4, -2)[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

        Se é // então (3, -4, -2) é normal a π[pic 46]

                3x – 4y – 2z + d = 0

                A = ponto[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

                3 ∙ 2 – 4 ∙ 1 – 2 ∙ + d = 0[pic 52][pic 53]

                6 – 4 – 6 + d = 0                        [pic 54][pic 55]

                d = 4  

1.  A reta r:  é ortogonal ao plano π que passa pelo ponto A( 2, 1, -2).[pic 56]

Determine uma equação geral de π para representá-lo graficamente.

r  π qualquer verto de r é um vetor normal ao plano.[pic 57]

       n = (3, 2, 1)

        então

       3x + 2y + 2 + d = 0                                 3x + 2y + z – 6 = 0[pic 58]

        A € π                                        para representação gráfica:

      3 ∙ 2 + 2 ∙ + 1 ∙ (-2) + d = 0                y = 0 e z = 0 => 3x- 6 = 0 => x = 2

        6 + 2 – 2 + d = 0                                x = 0  z = 0 => 2y – 6 = 0 => y =3

           d = -6                                 x = 0  y = 0 => z – 6 = 0 => z = 6

A = (2, 0 , 0) , B = (0, 3, 0) , C= (0, 0, 6)[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

Equação vetorial

[pic 65]

P – A = h + t[pic 66][pic 67]

         ou

P = A + h + t[pic 68][pic 69]

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2)                h e t € [pic 71][pic 72][pic 70]

                   Equação Vetorial

Exemplos

Seja o plano π que passa pelo ponto A(2, 2, -1) e é paralelo aos vetores              = (2, -3, 1) e = (-1, 5, -3). Obter uma equação vetorial e uma equação geral de π.[pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 73][pic 74]