Equacoes Diferencias Ordinarias

Índice 

1.        Introdução        2

2.        Objectivos        2

3.        Equações diferenciais lineares não homogéneas de segunda ordem e ordem n        3

4.        Método dos coeficientes indeterminados        3

5.        Conceitos adicionais        3

6.        Equações diferencias de Euler        9

7.        Anexo        14

8.        Resolução de exercícios da ficha no 7        14

9.        Conclusão        24

10.        Bibliografia        25

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1. Introdução

Neste breve e modesto trabalho debruçar-se-á de contextos relacionados com  equações diferenciais lineares não homogéneas de segunda ordem e de ordem superior a dois-método dos coeficientes indeterminados e equações diferencias de Euler. O método dos Coeficientes indeterminados é um método para encontrar uma solução particular
de uma EDO linear não homogénea e o método de Euler, também conhecido como método da recta tangente, é um dos métodos mais antigos que se conhece para solução de equações diferenciais ordinárias. O método é muito atraente por sua simplicidade, mas não muito usado em problemas práticos, dentre muitos outros métodos, pois apesar de simples, para conseguir boas aproximações é necessário um número maior de cálculos. 

1. Objectivos

Objectivo geral  

• Falar de equações diferencias lineares não homogeneas de segunda ordem e ordem n.

Objectivo especifico

• Explicar o método de coeficientes indeterminados.
• Apresentar equações diferencias de Euler.

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1. Equações diferenciais lineares não homogéneas de segunda ordem e ordem n
2. Método dos coeficientes indeterminados

Consideremos a equação diferencial linear não homogénea de ordem  com coeficientes constantes, [pic 1]

 = .[pic 2][pic 3]

Onde  é uma combinação linear finita  de CI , sendo constantes conhecidas.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

A solução desta equação diferencial escreve-se na forma  .[pic 8]

Onde : É a solução geral da equação diferencial homogénea associada. [pic 9]

              É uma solução particular da equação diferencial.[pic 10][pic 11]

O método dos coeficientes indeterminados tem como finalidade a determinação de, . Do ponto de vista matemático, a classe de funções  á qual podemos aplicar o método dos coeficientes indeterminados é algo limitado. No entanto, essa classe contém funções que surgem frequentemente nos segundos membros das equações diferencias lineares não homogéneas associadas a problemas de índole muito variada. Portanto a classe de funções em causa não é tão restritiva quanto possa parecer à primeira vista. Acresce-se que o método dos coeficientes indeterminados tem a vantagem de, no caso de poder ser aplicado ser relativamente simples. [pic 12][pic 13]

1. Conceitos adicionais

Diz-se que uma função   é uma função de coeficientes indeterminados (função CI) se obedece a uma das seguintes condições [pic 14]

1. [pic 15]
2. [pic 16]
3. [pic 17]
4. [pic 18]

Ou ainda se a função  for um produto finito de duas ou mais funções destes quatro tipos.[pic 19]

Exemplo: ,, [pic 20][pic 21][pic 22]

O método de coeficientes indeterminados pode ser aplicado apenas quando a função  presente no segundo membro da equação diferencial com coeficientes constantes for uma combinação linear finita de funções CI.[pic 23]

Para resolver as equações diferencias lineares não homogéneas com coeficientes constantes devemos atender os seguintes casos.

Caso 1: . [pic 24]

Onde:  É um polinómio de  de grau , chama-se parâmetro do segundo membro .[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

Considerando que  é uma raiz real da equação de ordem de multiplicidade  da equação característica .[pic 30][pic 31][pic 32]

Se  significa que  não é raiz da equação característica, a solução particular da equação linear não homogénea de coeficientes constantes pode se procurar sob a forma.[pic 33][pic 34]

[pic 35]

Onde:  É um polinómio do mesmo grau  que  com coeficientes indeterminados.[pic 36][pic 37][pic 38]

• Se um polinómio é de grau  tem a forma ;[pic 39][pic 40]
• Se um polinómio é de grau  tem a forma [pic 41][pic 42]
• Se um polinómio é de grau  tem a forma [pic 43][pic 44]
• Se um polinómio é de grau tem a forma [pic 45][pic 46]

Onde:são coeficientes indeterminados.[pic 47]

Para encontrar os coeficientes é preciso substituir   na equação linear não homogénea. Da identidade obtida será necessário igualar os coeficientes do mesmo grau de da parte esquerda e direita. Contudo obteremos um sistema algébrico para encontrar os coeficientes do polinómio .[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

Exemplo: Resolver a equação diferencial .[pic 53]

Resolução: a equação característica é , Cujas raízes são . Duas soluções da equação homogénea associada são  =.[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]