Equações de Euler e Navier-Stokes

Equações de Euler e Navier-Stokes

Mecânica dos Fluidos

Conceitos Básicos de Mecânica dos Fluidos

“Fluido é uma substância que não tem forma própria, assume o formato do recipiente.” Brunetti, Franco

Fluido ideal: é aquele cuja viscosidade é nula; escoa sem perdas de energia por atrito.Fluido compressível: aquele que apresenta variação na densidade em seu escoamento (geralmente gases).Fluido incompressível: é aquele cuja densidade se mantém constante com relação ao tempo e opõe-se à compressão independente da condição a que está submetido (geralmente líquidos e gases).

Escoamento incompressível: é quando o fluido não varia seu volume ao modificar a pressão.

Escoamento Laminar e Turbulento

Escoamento laminar: é aquele em que as partículas se deslocam em lâminas individualmente, sem trocas de massa.

Escoamento turbulento: aquele que a velocidade apresenta componentes transversais ao movimento geral do conjunto de fluido.

Experimento de Reynolds

O coeficiente de Reynolds é um número adimensional utilizado para calcular o regime de escoamento de um fluido sobre sua superfície.

O experimento tem como objetivo demonstrar os dois tipos de escoamento.

Claude Louis Marie Henrie Navier

Claude Louis Marie Henrie Navier (1785-1836),  foi engenheiro, físico e matemático.  Navier elaborou a teoria da elasticidade geral de  maneira utilizável pela matemática e corrigiu os  resultados errados de Galileu, onde determinou a  linha zero de tensão mecânica.

É frequentemente nomeado como o pai da  análise estrutural.

George Gabriel Stokes

George Gabriel Stokes (1819 - 1903) foi  matemático e físico irlandês. Publicou trabalhos sobre movimento  de fluidos incompressíveis e sobre atrito  interno do fluido em movimento.  No ano de 1851 publicou a sua lei da  viscosidade, conhecida como Lei de  Stokes, que descreve a velocidade de uma  pequena esfera através de um líquido viscoso

Lei de Stokes

Propõe relação com o tamanho de uma esfera e sua velocidadede queda em um meio a um fluido, onde atuam força de empuxo, força de arraste e a força peso.Empuxo: força na vertical atuando em um objeto submerso emum fluido.Força de Arraste: resistência de movimento de um objeto emmeio a um fluido.Força Peso (gravitacional): força de atração entre dois ou mais corpos com massa.

Para partículas esféricas, sem interação entre as mesmas e em regime laminar, temos: 

Vs: viscosidade sedimentarg: gravidadeρ: peso específico da partícula e do fluidod: diâmetro da partículaμ: viscosidade absoluta do fluido

Lei da Viscosidade de Newton

A segunda lei de Newton direcionada para corpos materiais nos diz que a aceleração adquirida por um corpo é  diretamente proporcional à resultante de forças que atuam sobre a mesma.

Expressa pela fórmula: 

Fluido Newtoniano e Não-Newtoniano

Fluido Newtoniano: é um fluido do qual a viscosidade ou atrito é constante em diversas taxas de cisalhamento e não varia em relação ao tempo; onde sua constante de proporcionalidade é a viscosidade.

Fluido Não-Newtoniano: é o fluido oposto ao Newtoniano, onde a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação. Assim sendo, sua viscosidade pode ser melhor definida.

Perfil de velocidade: conforme ocorre o afastamos da placa, há uma diminuição no cisalhamento Em decorrência disto temos uma disseminação de velocidade entre as linhas de corrente.

A Lei de Newton da Viscosidade nos diz que a relação entre a tensão de cisalhamento pela área e o gradiente local de velocidade é determinada por uma relação linear, onde a constante de proporcionalidade, a viscosidade do fluido. Os fluidos que obedecem esse comportamento são denominados fluidos newtonianos.

Augustin-Louis Cauchy

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) foi um  matemático francês. A partir do método de  Lagrange elaborou a teoria de grupos. Fez grandes contribuições na área da análise e da mecânica de meios contínuos.  Utilizou a segunda lei de Newton aplicada ao contexto de campo:  ρ (dv/dt) = (∇.σ) + (ρ.g)   Inércia = Forças de superfície +Forças de campo

Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707-1783), foi um físico suiço Fez grandes descobertas no campo da  matemática, como cálculo e teoria dos grafo,  trabalhou também com óptica, astronomia e  dinâmica dos fluidos.  Equação de Euler para um fluido ideal: σ = -p.I Essa equação foi realizada a partir do conceito de campo e desconsiderando a viscosidade.

“Deve-se também assumir que o estado do fluido em um determinado momento é conhecido e chamarei isso de estado inicial [etat primitif] do fluido. Como esse estado é quase arbitrário, é necessário, antes de tudo, conhecer a distribuição das partículas de que o fluido é composto e, a menos que no estado inicial o fluido esteja em repouso, o movimento impresso sobre elas. No entanto, o movimento inicial não é totalmente arbitrário, pois tanto a continuidade quanto a impenetrabilidade do fluido impõem certa limitação que investigarei a seguir, e então geralmente