Equações Diferenciais - Fundamentos

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1. Equações Diferenciais - Fundamentos

As equações diferenciais possuem aplicações em diversas áreas do conhecimento, incluindo não somente as áreas exatas, como também distintas aplicações em economia, medicina, psicologia entre tantas outras. As equações diferenciais advêm de modelos matemáticos desenvolvidos para que as pessoas possam compreender fenômenos físicos que acontecem, e consistem em algumas derivadas de uma função desconhecida.

No que diz respeito à solução de uma equação diferencial, pode-se notar que será uma função e não apenas um número, desta forma também se pode constatar que não se pode esperar uma solução única para uma equação diferencial, pois haverá “constantes de integração” arbitrárias. Logo, sempre que tais modelos matemáticos desenvolvidos envolverem taxas de mudança de uma variável em relação à outra, uma equação diferencial tende a aparecer.

Seguindo este parâmetro, onde a derivada de uma variável em relação à outra, denomina-se a primeira de variável dependente e a segunda de variável independente.

Quanto ao envolvimento das derivadas, a equação é diferencial ordinária quando envolve apenas derivadas comuns com relação a uma única variável independente, sendo esta também classificada em Linear (Variável dependente e suas derivadas aparecem em combinações aditivas de suas primeiras potências) e não linear. Será uma equação diferencial parcial quando envolver derivadas parciais com relação a mais de uma variável independente.

Formato de uma equação diferencial linear

[pic 1]

Explanação de Exemplo:

[pic 2]

Este é um exemplo onde se tem uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, porém não linear, pois temos um termo .  Para facilitar o entendimento, poder-se ia reescrever esta equação detalhando todas as combinações aditivas.[pic 3]

[pic 4]

Observa-se que dentre os coeficientes existe um que é outra variável . Por esta razão ela é não linear, e de segunda ordem, pois se refere à ordem da derivada de mais alta ordem da equação.[pic 5]

Explanação de Exercícios

Classificar as equações diferenciais abaixo como equação diferencial ordinária (EDO) ou equação diferencial parcial (EDP), dê a ordem e indique as variáveis independentes e dependentes. Se a equação for diferencial ordinária, indique se a equação é linear ou não linear.

1.  [pic 6]

Solução: A equação (1) é uma diferencial ordinária (EDO), pois envolve apenas derivadas comuns com relação a uma única variável independente. Neste exemplo ainda temos que a variável dependente é y e a variável independente é x. É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, pois é a mais alta ordem das derivadas que nela estão presentes.  E por fim, é uma equação ordinária de segunda ordem com variável dependente y e variável independente x do tipo não linear. Pois observamos que existe o termo 2y com outra variável distinta que não a de x. A equação é denominada de equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico.

1. [pic 7]

Solução: A equação (2) é uma diferencial parcial (EDP), pois envolve derivadas comuns com relação a mais de única variável independente. Neste exemplo ainda temos que a variável dependente é u e as variáveis independentes são x e y. É uma equação diferencial parcial de segunda ordem, pois é a mais alta ordem das derivadas que nela estão presentes.  A equação acima é de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica.

1. [pic 8]

Solução: A equação (3) é uma diferencial ordinária (EDO), pois envolve apenas derivadas comuns com relação a uma única variável independente. Neste exemplo ainda temos que a variável dependente é y e a variável independente é x. É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, pois é a mais alta ordem das derivadas que nela estão presentes.  E por fim, é uma equação ordinária de segunda ordem com variável dependente y e variável independente x do tipo não linear. Pois observamos que existe o termo xy com outra variável distinta que não a de x. A equação é denominada de aerodinâmica, análise de estresse.

1. Soluções e problemas de valor inicial

Uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma igualdade que relaciona a variável independente a n-ésima derivada (e em geral também às derivadas de ordem inferior) da variável dependente.

Exemplos:

1.    (Segunda Ordem, t independente, y dependente).[pic 9]
2.      (Quarta Ordem, t independente, x dependente).[pic 10]

De forma geral, para uma equação de ordem n com x independente, y dependente, pode ser expressa como:

1.  a ordem n; ou seja depende de x,y,...,. Considerando-se que a equação se aplica para todo x no intervalo aberto I (a, onde a ou b poderiam ser infinitos).[pic 11][pic 12][pic 13]

Explanação de Exemplo

Mostre que  é uma solução explícita para a equação linear .[pic 14][pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Substituindo as derivadas na equação linear, ter-se-ia o seguinte:

.[pic 19]

(=[pic 20][pic 21]

[pic 22]

Isso é válido para qualquer x, logo a função é uma solução explícita para  em ([pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Explanação de Exercício:

1. Mostre que  é uma solução explícita para .[pic 27][pic 28]

Solução:
[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Substituindo as derivadas na equação, temos:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Essa solução é válida para qualquer x, logo a função
𝜙 é uma solução explícita para . Em ( e em (0,[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

1. Mostre que   é uma solução explícita para [pic 39][pic 40]

Solução:
[pic 41]

+[pic 42][pic 43]

 -2[pic 44][pic 45]

Substituindo as derivadas na equação, temos:

[pic 46]

 -2)=2([pic 47][pic 48][pic 49]