Equações Diferenciais e Séries. Aplicação e Modelagem
Seminário: Equações Diferenciais e Séries. Aplicação e Modelagem. Pesquise 861.000+ trabalhos acadêmicosPor: raquelssfac3 • 3/10/2013 • Seminário • 890 Palavras (4 Páginas) • 343 Visualizações
Faculdade Anhanguera de Campinas - FAC III
Engenharia de Produção 4ª Série
Disciplina:
Equações Diferenciais e Séries
Aplicação e Modelagem
Etapa 1
Campinas 05/09/2013
Passo 1: Estudo da modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais
A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia. Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.
A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.
Passo 2: Estudo das técnicas de integração de funções de uma variável
A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso, o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.
Método de conjecturar e verificar
Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são útil na inversão da regra da cadeia.
Método por substituição
Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar da seguinte maneira
Dw = w´(x) dx = (dw/dx) dx
No método de substituição parece que tratamos dw e dx como entidades separadas, até cancelando-as da equação dw= (dw/dx)dx.
Método Por partes
A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:
Passo 3: Estudo do método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem
Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis:
A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se:
- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.
- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.
Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.
Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo:
g(y) dy = f(x)dx
A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja,
∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C.
Chama-se equação de variáveis separáveisuma equação do tipo:
F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy
Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fatorizar em funções, dependentes só de x ou só de y.
Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x)h1(y) a equação fica com as variáveis separadas:
=
E o integral geral dessa equação tem a forma
ʃ = ʃ +C
Equações diferenciais
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