O USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA MODELAGEM
Tese: O USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA MODELAGEM. Pesquise 862.000+ trabalhos acadêmicosPor: Diegoceneia • 14/9/2013 • Tese • 1.214 Palavras (5 Páginas) • 669 Visualizações
Trabalho de Conclusão de Curso
Licenciatura em Ciências Naturais
O USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA
MODELAGEM DE SISTEMAS NATURAIS E
OUTROS
Lucas Rangel Thomas
Orientadora: Mariana Malard Sales Andrade
Universidade de Brasília
Faculdade UnB Planaltina
Fevereiro de 2013
O USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA MODELAGEM
DE SISTEMAS NATURAIS E OUTROS
Lucas Rangel Thomas
RESUMO Este trabalho aborda as possibilidades de modelagem matemática
de sistemas através de equações diferenciais, com ênfase aos sistemas
pertencentes ao ramo das Ciências Naturais. Dependendo do problema de
interesse, esta modelagem pode ser feita de forma analítica ou de forma computacional.
A seleção dos sistemas analisados neste trabalho foi feita, por
um lado, através de um estudo da literatura padrão na área e, por outro, a
partir de entrevistas com os professores de diferentes áreas de pesquisa da
Faculdade UnB Planaltina.
Palavras-chave: Equações diferenciais. Modelagem de sistemas. Ciências
Naturais. Métodos analíticos. Métodos numéricos.
1 INTRODUÇÃO
Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular
a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de
variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a
dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial
(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo
ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente,
prever o seu comportamento.
Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjunto
de equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e
simplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equações
diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comportamento
geral de vários tipos de sistemas.
Historicamente, a evolução do ramo da matemática no qual se insere o estudo
das equações diferenciais aconteceu em paralelo com o desenvolvimento
da Física, funcionando como ferramenta de cálculo das equações de movimento
da mecânica newtoniana, das equações de onda da física ondulatória
e do eletromagnetismo e, mais tarde, na formulação da mecânica quântica e
da relatividade.
Hoje em dia, o uso de equações diferenciais foi estendido para as mais
diversas áreas do conhecimento. Para citar alguns exemplos de aplicações de
equações diferenciais em Ciências Naturais, temos o problema da dinâmica de
populações, o de propagação de epidemias, a datação por carbono radioativo,
a exploração de recursos renováveis, a competição de espécies como, por
exemplo, no sistema predador versus presa. Fora das Ciências Naturais, as
equações diferenciais também encontram aplicação em economia, no sistema
financeiro, no comércio, no comportamento de populações humanas, dentre
outras.
Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que
mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis.
Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos comportam modelagens em
termos de equações diferenciais bem conhecidas. Por outro lado, problemas
cuja modelagem exige equações diferenciais mais complicadas podem, hoje
em dia, ser tratados através de métodos computacionais.
Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas
através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão
de problemas reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do
conhecimento e, em particular, em Ciências Naturais.
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2 ASPECTOS TÉCNICOS DO USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
NA MODELAGEM DE SISTEMAS
O principal desafio que se apresenta na modelagem de sistemas em termos
de equações diferenciais é formular as equações que descrevem o problema a
partir de um conjunto restrito de informações, ou “pistas”, sobre o comportamento
geral do sistema. A construção do modelo envolve uma percepção
da situação real em linguagem matemática. Para que o modelo seja uma
boa representação da realidade, é de fundamental importância enunciar de
maneira precisa os princípios que governam o sistema de interesse.
Ora, como cada sistema possui um conjunto de variáveis e interações características,
os
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