Equações diferenciais. Modelagem de aplicativos

ATPS – ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

Equações Diferenciais e Séries

Rafael Fischer RA: 3240558235

7º SÉRIE–ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

LIMEIRA – SP

2014

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................................03

2 DESENVOLVIMENTO........................................................................................................04

2.1 Equações Diferenciais. Aplicações Modelagem.................................................................04

2.2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior.......................................................07

3 CONCLUSÃO.......................................................................................................................11

REFERÊNCIAS.......................................................................................................................12

RELATÓRIO

Equações Diferenciais

As equações diferenciais, em matemática, consiste em analisar uma situação real que necessita de uma resolução.

Essas equações possuem características próprias, como: a solução pode existir ou não e, caso exista, a solução é única ou não. O papel do matemático é criar hipóteses físicas a serem levadas em conta ante os dados fornecidos/adquiridos pela problemática. O foco é saber adquirir a habilidade para transformar exercícios complexos a uma tradução matemática mais simples, de forma a tentar resolvê-los com um esforço menos intenso, mas ao mesmo tempo deixá-lo rico o bastante para que fenômenos de interesse possam ser simulados até o modelo final.

Um sistema físico que podemos usar como exemplo é o da dinâmica de fluídos. Por exemplo, quando estudamos ondas do mar, podemos supor que a água é um fluído incompressível, ou seja, não viscosa. Isso simplifica as leis da física envolvidas e também o modelo matemático adotado. Podemos usar também para a resolução de circuitos elétricos, como veremos no decorrer deste exercício.

2- Pesquisar quais as principais aplicações da modelagem por meio das equações diferenciais em problemas de diferentes áreas do conhecimento.

Aplicação Da Modelagem Em Equações Diferenciais

As equações diferenciais estão presentes em diversas áreas do conhecimento, como a engenharia, a física, a biologia, a estatística, etc. Uma equação diferencial é uma equação em que suas incógnitas são funções e a equação envolve as derivadas dessas funções. Podem ser classificadas em Equações Diferenciais de Primeira Ordem e Equações Diferenciais de Segunda Ordem. As Equações Diferenciais de Primeira Ordem possuem a forma: F(x.y.y’)=0, enquanto que as de Segunda Ordem funcionam sob a forma de a(x)y’’+b(x)y’+c(x)y=d(x). Como indicado nas fórmulas, para a resolução dessas equações é necessário conhecer bem os conceitos de Derivada e Integral.

Com relação a utilização das Equações Diferenciais, pode-se dizer que elas são aplicadas em diversas áreas do conhecimento como meio para a resolução de problemas. Através das Equações Diferenciais, podemos resolver problemas de Física, Matemática, Química em suas diversas variações. As Equações Diferenciais possuem o que pode ser chamado de matemática da modelagem dos fenômenos naturais e, portanto, são de ordem não somente quantitativa, mas também, qualitativa, pois é necessário que seja feita uma análise da situação real. A partir dessa análise, é elaborado um processo de resolução para a problemática, que consiste na elaboração de um problema (ou modelo) matemático transferido a uma Equação Diferencial, de modo que este venha a ser solucionado. Esta solução numérica será comparada a situação, ao modelo elaborado e, a partir daí, busca-se um método de solucionar o problema real em si.

A metodologia para resolução de problemas apresentados nos cursos de Equações Diferenciais pode ser conduzida, pelos passos seguintes:

- Declaração ou definição de variáveis e invariantes;

- Identificação da relação das variáveis (pela sua dependência);

- Montagem da equação diferencial (usando derivada “taxa de variação” ou sua “interpretação geométrica”;

- Identificação das condições iniciais e de contorno;

- Determinação do formato da solução (o que o problema pede);

- Resolução da equação diferencial;

- Análise e crítica da solução com interpretação gráfica da solução.

03- Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina.

A equação diferencial linear, ou em ordem n, supondo an(x) diferente de 0, visto ser n a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação. Para n=1, a equação fica:

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Uma forma geral de uma equação de primeira ordem:

f(x,y,y’) = 0

ou

dy/dx=f(x,y).

Se a função f das equações depender linearmente da variável dependente y, então a equação pode ser escrita na forma:

dy/dx + p(x)y = g(x) - e é chamada de equação diferencial