Exercício de Calculo Recuperação Automática

Um solido gerado pela rotação de uma região plana em torno de um eixo no plano é denominado sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido utilizamos as integrais definidas, assim é fundamental identificar a função a ser integrada e o limite de integração. Assim, deseja-se calcular o volume do sólido formado pela rotação em trono do eixo x da região delimitada pelas curvas:

[pic 1]

Assinale a alternativa que indica corretamente a integral que deve ser empregada para o cálculo do volume do solido em questão.

Resposta: [pic 2]

[pic 3]

Além de auxiliar no cálculo de área de regiões sob curvas, as integrais de funções de uma variável real podem ser aplicadas para o cálculo de volume de sólidos de rotação. Assim faz-se necessário a identificação da função a ser integrada e da região de integração. Logo deseja-se determinar o colime da região R delimitada pela curva  quando rotacionada em torno do eixo X.[pic 4]

Assinale a alternativa que indica corretamente a integral que dever ser empregada para o cálculo do volume do sólido em questão.

Resposta: [pic 5]

[pic 6]

Quando falamos sobre o desenvolvimento histórico do Cálculo dois matemáticos são lembrados, Leibniz e Newton. Eles foram responsáveis por explorar a relação inversa entre a derivada e a integral e a usaram para desenvolver o cálculo como um método matemático. Considere a integral . Assinale a alternativa que contém o resultado correto da integral.[pic 7]

Resposta: [pic 8]

[pic 9]

Em uma pequena cidade do interior está acontecendo um concurso para escolher o arquiteto que será responsável por projetar um memorial para a praça principal da cidade. Para submeter o projeto no concurso o arquiteto deve respeitar uma regra, o memorial projetado deve ter uma área entre  e 2. Um dos arquitetos projetou um monumento, representando pela figura a seguir, que poderia ser descrito pelas curvas [pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

Resposta: [pic 14]

[pic 15]

Utilizando integração para solucionar um problema de uma empresa têxtil. Essa empresa tem uma máquina que parou de funcionar. A taxa de variação do prejuízo (em reais) em função do tempo (em horas) em que a máquina fica parada é dada por:  .[pic 16]

Sabe-se que no tempo inicial (t=0) não há prejuízo.

Qual a função prejuízo em relação ao tempo?

[pic 17]

[pic 18]

O Sistema de coordenadas polares é conveniente para muitos propósitos, podendo ser empregado, por exemplo, na descrição de certos tipos de regiões e para auxiliar no cálculo de integrais duplas, de acordo com o formato da região de integração considerada.

Nestes casos, existe a necessidade da aplicação de uma mudança de várias variáveis que permita estabelecer relações entre o sistema de coordenadas cartesianas e o de coordenadas polares.

Com base nessas informações, qual as coordenadas polares do ponto A, sabendo que suas coordenadas cartesianas são A (1,1)?   P = (r,θ)

Resposta: ([pic 19]

[pic 20]

As integrais de funções de uma variável real podem ser úteis para encontrar a velocidade de um corpo dada sua taxa de aceleração. Com base nessas informações, considere a seguinte situação: Um foguete, inicialmente em repouso, foi projetado para que durante a primeira fase de lançamento acelere a uma taxa de . Supondo que a primeira fase dure 4 segundos.[pic 21]

Qual a velocidade desse foguete ao final dessa fase?

Resposta: [pic 22]

[pic 23]

Os sólidos de rotação são formados quando se rotaciona uma região R plano em torno de um e eixo. Ao rotacionar a região R delimitada pela curva  em torno do eixo y formamos um sólido que se assemelha a parte superior de uma taça de vinho. Considere que .[pic 24][pic 25]

Qual a integral a ser empregada para o cálculo do volume do sólido em questão?

Resposta: [pic 26]

      [pic 27]

As integrais de função de uma variável podem se reutilizadas para encontrar área de regiões sob curvas e entre curvas. Com base em informações sobre o cálculo de área por meio de integrais considere a situação:

Uma determinada região é limitada pelas curvas [pic 28]

Qual a integral que deve ser empregada para o cálculo do solido em questão.

Resposta: A=[pic 29]

[pic 30]

Os gregos desde a antiguidade se preocuparam com o problema de cálculo de área de figuras curvas. Uma das soluções para esses problemas foi o método de Exaustão que consiste em preencher figuras curvas de área desconhecida com figuras cuja área eles já sabiam calcular, em geral retângulos e triângulos. Um método semelhante foi usado para o cálculo de área sob uma determinada função em um intervalo. A figura abaixo ilustra a área a ser calculada.

Com base em informações sobre o método para o cálculo da área ilustrado na imagem, analise os itens que seguem

I – A área aproximada sob a curva pode ser calculada preenchendo o intervalo com retângulos e somando a área desses retângulos.

II – A área exata sob a curva pode ser calculada preenchendo o intervalo com retângulos em somando à área desses retângulos.

III – Quanto menos retângulos forem utilizados para preencher o intervalo melhor é o resultado de área encontrado.

[pic 31]

Um engenheiro é responsável por fazer o orçamento de quanto de material será gasto na construção de um prédio. Sua tarefa mais recente é calcular a quantidade de metros quadrados de ladrilhos necessário para revestir uma parede da sala de recreação. Considere que a região da parede é delimitada pelas curvas:

[pic 32]

[pic 33]

Qual a quantidade aproximada de metros quadrados de ladrilhos necessários para revestir essa parede.

Resposta: [pic 34]

[pic 35]

As integrais de funções de uma variável nem sempre pode ser resolvida de forma imediata, assim faz-se necessário o uso de técnicas que facilite o processo de integração. Com base nessas técnicas de integração analise a integral .[pic 36]

Resposta: Substituição trigonométrica

[pic 37]

Na descrição de certos tipos de regiões podemos empregar o sistema de coordenadas polares, além disso esse sistema pode auxiliar no cálculo de integrais duplas, de acordo com o formato da região de integração considerada.