Função matricial

m matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real.1 Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função f com as seguintes propriedades:

f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;

f(In) = 1, onde In é a matriz identidade.

Esta função chama-se determinante.

O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A).Nota 1

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;

O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT);2

Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;

Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;

Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;

Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;

Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);

Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;

Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;

Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);3

Se A é invertível, então det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;

Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.