Algebra Matricial E Computacional

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ – UNIFAP

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA

CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

ÁLGEBRA MATRICIAL E COMPUTACIONAL

JONAS LOPES BORGES

II ATIVIDADE

Macapá

2014

JONAS LOPES BORGES

II ATIVIDADE

Trabalho apresentado à disciplina de Álgebra Matricial e Computacional como requisito avaliativo do Curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade Federal do Amapá, orientado pelo Profº. José Walter Cárdenas Sotil.

Macapá

2014

I-Dada a matriz A=[■(3&2&0@0&2&1@1&0&2)].

Determine a norma ‖A‖_∞.

‖A‖_∞=(_1≤i≤3^max){∑_(j=1)^3▒[a_ij ] }

‖A‖_∞=(máx)┬(1≤i≤n)⁡{|3|+|2|+|0|;|0|+|2|+|1|;|1|+|0|+|2|}

‖A‖_∞=〖máx〗_(1≤i≤3) {5,3,3}=5

Determine a norma ‖A‖_1

‖A‖_1=〖max〗_(1≤i≤3) {∑_(1=1)^3▒|a_ij | }

‖A‖_∞=(_i≤j≤3^max){∑_(i=1)^3▒[a_ij ] } max┬(1≤i≤3)⁡{|3|+|0|+|1|;|2|+|2|+|0|;|0|+|1|+|2|}

‖A‖_1= (_1≤i≤n^max)∑_(i=3)^3▒|a_ij | =máx{4,4,3}=4

c)Verifique que a matriz A é diagonal dominante.

Sugestão.

Verifique que: |a_ij |,i=1,2,3

É importante ressaltar que a matriz A=(a_ij ),i,j=1,…n é estritamente diagonalmente dominante se: A=(a_ij )≥∑_(j≠i)^3▒〖|a_ij |,〗 1,2,3.

Para i=1→ |3|>|2|+|0|

Para i=2 →|2|>|0|+|1|

Para i=3→ |2|>|1|+|0|

Logo, pode-se dizer que a matriz A dada e estritamente diagonalmente dominante.

d) Usando o método de Jacobi, resolva o sistema Ax=b,onde b=[5 3 3]^t.

i) Calcule a matriz diagonal D.

d_ij= {█(a_ii,se i=j@0,se i≠j)┤

A=[■(3&2&0@0&2&1@1&0&2)] ; D=[■(3&0&0@0&2&0@0&0&2)]

ii) Calcule a matriz M

M= -D^(-1).(A-D)

M=-D^(-1).(A-D)

-D=-[■(3&0&0@0&2&0@0&0&2)]=[■(-3&0&0@0&-2&0@0&0&-2)]

-D=[■(-3&0&0@0&-2&0@0&0&-2)]

-D^(-1)=[■(a&b&c@d&e&f@g&h&i)]

[■(-3&0&0@0&-2&0@0&0&-2)][■(a&b&c@d&e&f@g&h&i)]=[■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)]

[■(-3a+0d+0g&-3b+0e+0h&-3c+0f+0i@0a-2d+0g&0b-2e+0h&0c-2f+0i@0a+0d-2g&0b+0e-2h&0c+0f-2i)]=[■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)]

=[■(-3a&-3b&-3c@-2d&-2e&-2f@-2g&-2h&-2i)]=[■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)]

-3a=1→a=-1/3

-3b=0→b=0

-3c=0→c=0

-2d=0→d=0

-2e=1→e=-1/2

-2f=0→f=0

-2g=0→g=0

-2h=0→h=0

-2i=1→i=-1/2

-D^(-1)=[■(-1/3&0&0@0&-1/2&0@0&0&-1/2)]

(A-D)=[■(3&2&0@0&2&1@1&0&2)]-[■(3&0&0@0&2&0@0&0&2)]=[■(0&2&0@0&0&1@1&0&0)]

Agora fazendo a operação de M=-D^(-1).(A-D).

M=[■(-1/3&0&0@0&-1/2&0@0&0&-1/2)][■(0&2&0@0&0&1@1&0&0)]=

=■((-1/3).0+0.0+0.1&(-1/3).2+0.0+0.0&(-1/3).0+0.1+0.0@0.0-(1/2).0+0.1&0.2+(-1/2).0+0.0&0.0-(1/2)+0.0@0.0+0.0(-1/2).1&0.2+0.0-(1/2).0&0.0+0.1-(1/2).0)

M=[■(0&-2/3&0@0&0&-1/2@-1/2&0&0)]

iii) Calcule o vetor C.

Logo C=D^(-1).b

c=[■(1/3&0&0@0&1/2&0@0&0&1/2)][█(5@3@3)]

[■(1/3&0&0@0&1/2&0@0&0&1/2)][█(5@3@3)]=[█(c_1@c_2@c_3 )]→[█(5/3@3/2@3/2)]=[█(c_1@c_2@c_3 )]

c_1=5/3

c_2=3/2

〖 c〗_3=3/2

c=[5/3,3/2,3/2]^t

iv) Defina o vetor inicial x^((0))

x^((0))=[0 0 0]^t

v) Execute o procedimento iterativo.

x^k=M.x^(k-1)+c,k=1,2,3,…

1ª Questão.

x^k=M.x^((k-1))+C

Para K=1

K=1⇒x^1= [■(0&-2/3&0@0&0&-1/2@-1/2&0&0)][■(0@0@0)]+[■(5/3@3/2@2/3)]=[■(0@0@0)]+[■(5/3@3/2@3/2)]=[■(5/3@3/2@3/2)]

Para