INTEGRAIS DUPLAS, TRIPLAS E APLICAÇÕES FÍSICAS

[pic 1]

UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA

ALCIDIO DA SILVA

CRISTIANO SILVA

LUCAS POPINGA

RODRIGO JEREMIAS

THIAGO ADOLFO SCHEIDT

TRABALHO FINAL TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

INTEGRAIS DUPLAS, TRIPLAS E APLICAÇÕES FÍSICAS

Palhoça

2016

Sumário

1        INTRODUÇÃO        

2        DESENVOLVIMENTO        

2.1        CÁLCULO DE MASSA        

2.2        MOMENTOS DE MASSA        

2.3        CENTRO DE MASSA        

2.4        EXPRESSÕES PARA RESUMO DAS CALCULOS        

2.5        APLICAÇÃO:        

3        CONCLUSÃO:        

4        BIBLIOGRÁFIA        

INTRODUÇÃO

        Este trabalho tem por finalidade, explicar as aplicações das integrais duplas e triplas demonstrando conceitos usados em outras disciplinas, como por exemplo, física e mecânica.  Como calcular massa, momento de massa e ponto de equilíbrio ( centro de massa), através de integrais duplas e triplas.

        

DESENVOLVIMENTO

A Integral dupla é simplesmente a continuidade, extensão, da integral simples vista em cálculo 2. A integral dupla é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável (x e y), e considerando as demais como constantes.

Além disso, pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função a ser duplamente integrada. Outras aplicações de integral dupla é determinar área, centro de massa, momento de massa e ponto de equilíbrio (centro de massa).

CÁLCULO DE MASSA

Seja uma lâmina colocada numa região D do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por área) no ponto (x,y) em D é dada por [pic 2](𝑥, 𝑦), onde [pic 3] é uma função contínua e integrável sobre a região D, então [pic 4](𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 é a massa do elemento de área 𝑑𝑥𝑑𝑦, e a massa total da lâmina é:

[pic 5]

[pic 6]= Função densidade

D = Região de integração

Através desta aplicação podemos calcular a massa de qualquer lâmina numa região D do plano xy, basta termos a função densidade para obter a massa total de uma lâmina qualquer.

MOMENTOS DE MASSA

Suponha que uma lâmina ocupe uma região D e que tenha ρ(x, y) como função densidade. O momento da lâmina inteira em relação ao eixo x é :V

[pic 7]

Analogamente, o momento em relação ao eixo y é :

[pic 8]

CENTRO DE MASSA

[pic 9]

É determinada pela divisão do momento de massa, pela massa. O ponto de equilíbrio, ou coordenadas do centro de massa ([pic 10], [pic 11]), então é definido por:

[pic 12]

[pic 13]

CALCULO DE MASSA, MOMENTO E CENTRO DE MASSA COM INTEGRAIS TRIPLAS

A massa pode ser calculada através da integração tripla da função densidade [pic 14](𝑥,𝑦,z), onde E é a região de integração.

[pic 15]

[pic 16](𝑥,𝑦,z) = Função densidade em unidades de volume

E = Região de integração

Os momentos de massa podem ser calculados através das seguintes expressões:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

E os centros de massa ([pic 20][pic 21], [pic 22]) serão calculados pelas seguintes expressões:

[pic 23]

RESUMO DAS EXPRESSÕES PARA FUTUROS CÁLCULOS

Massa:

[pic 24]

[pic 25]

Momento de Massa:

[pic 26][pic 27]

[pic 28][pic 29][pic 30]