Calculo, integrais duplas

[pic 1]

Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3

[pic 2]

• Prova anteriores: Primeira Parte da Disciplina

1.1        Prova 27/09/2019

1. Calcular a integral dupla Rpta.-34/3

1. Calcular a integral tripla Rpta.-11/24

---

• 2 ´x+2

0        0        xydydx.

• 1 ´x ´y+1

0        0        0        xdzdydx.

1. Utilizando integral dupla calcular a area´ do quadril´atero de v´ertices (−4, 1), (−4, 8), (5, 2) e (5, 7).

Rpta.-54

4.

Calcular a integral

R

x dA, onde R ´e a regi˜ao encerrada pelo circulo x2 + y2 = 1 e acima da

reta y = x.

˜

√

2

Rpta.-−

3

5.

Montar a integral tripla que calcula o volume do solido encerrado pelo paraboloide z =

8 − x2 − y2 e o plano z = 2. [N˜ao necessita calcular, somente explicar como chegou

a essa montagem]

RPASI

√

2π

√

8

r2

2π

´

6

´

6

Rpta.- ´0

0

´2

−

dzrdrdθ ou de maneiraAsimplificada:

´

0

0

(6r − r3)drdθ.

6.

Calcular o volume do solido limitado pela esfera z =

16 − x2 − y2, o plano z = 1, e o

cilindro x2 + y2 = 1.

POIO

Rpta.-(

125

− 10

√

15)π

3

2y−3x

Utilizar a transforma¸c˜ao u = 2Ay − 3x e v = 2y + 3x para calcular

˜

7.

dA sobre a regi˜ao

R

2y+3x

• que ´e encerrada pelas retas 2y = 3x, 2y = 3x + 2, 2y = 2 − 3x, 2y = 5 − 3x. Rpta.- 16 (ln(5) − ln(2))

1. Calcular a area´ da por¸c˜ao do plano z = x + 2y que esta acima do circulo x2 + y2 = 5.

√

[pic 3]

Rpta.-5        6π

1. Considere a regi˜ao plana R encerrada pelas curvas y = 2x + 1, y = x2 e y = 1 e onde x > 0.

• Montar a integral dupla que calcula a area´ da regi˜ao R, explicando como chegou a essa montagem.

• Utilizando a integral anterior calcular efetivamente a area´ de R.

• Calcular qualquer uma das coordenadas do centroide de R. Escolha a coordenada que na sua opini˜ao seja a mais f´acil de calcular.

1

[pic 4]

Prof. Jorge P Arpasi: Material de apoio Calculo 3

[pic 5]

Rpta.- Denotando α = 1 + √

2 temos

α2

√

1

2x+1

α

2x+1

• A=´

y

dxdy [tipo II], ou tamb´em A =

´

dydx + ´

´

dydx [tipo I]

1

´Y 2

0

´0

1

x

2

−1

• Fazendo a integra¸c˜ao tipo I obtemos

√

[pic 6]

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