INTEGRAIS TRIPLAS

Universidade Salvador – UNIFACS

Cursos de Engenharia – Cálculo IV

Profa: Ilka Rebouças Freire

Integrais Múltiplas

Texto 04 : A Integral Tripla

A integral simples de uma função f(x) foi definida numa região fechada do eixo OX, um

intervalo [a,b]. A integral dupla de uma função f(x,y) foi definida numa região fechada R do

plano xy. Nosso objetivo agora é definir o significado da integral tripla da função f(x,y,z)

numa região sólida fechada Q do sistema de coordenadas XYZ.

Dada uma função de três variáveis f(x,y,z) podemos definir a integral tripla para essa

função com um processo análogo ao que foi feito para integral dupla. A integral tripla

aparece em muitas aplicações da engenharia. Por exemplo, a massa de um sólido Q

pode ser calculada através da integral   

Q

m (x, y, z)dV onde (x,y,z) é a densidade em

um ponto (x,y,z).

Suponhamos que f(x,y,z) é uma função contínua em uma região Q em forma de um

paralelepípedo Q = { (x,y,z)  R3; a  x  b; c  y  d; e  z  f }. Dividindo-se Q em subregiões

Q1, Q2,...Qn, através de planos paralelos aos planos coordenados, obtemos uma

partição de Q. Se xi, yi e zi são as dimensões de Qi, então Vi é o seu volume.

Considerando a soma  

i

f (xi , yi , zi ) Vi , onde (xi, yi, zi ) é um ponto arbitrário de Qi,

definimos a integral tripla de f sobre Q como o limite da soma, se existir, ou seja,

 

 

 

n

i 0

i i i i

Q n

f (x, y, z)dV lim f (x , y , z ) V

Pode-se mostrar que a integral acima pode ser obtida através de três integrações simples

    

b

a

d

c

f

Q e

f (x, y, z)dV f (x, y, z)dzdydx

2

Observações:

1. Assim como na integral dupla, a ordem de integração pode ser trocada e a integral

iterada acima pode ser obtida por qualquer uma das outras cinco integrais iteradas

resultantes da alteração da ordem de integração. O número de possíveis ordens

de integração corresponde a 3! = 6

2. Valem as mesmas propriedades da integral dupla

Exemplo: Calcule 

Q

xyzdxdydz, sendo Q = {(x,y,z)R3; 0  x  1; 0  y  2; 1  z  0}.

Solução: 

Q

xyzdxdydz=

2

1

]

2

z

] dz zdz [

4

y z

dydz [

2

yz

] dydz

2

x yz

xyzdxdydz [ 0

1

0 2

1

0

1

2

0

0 2

1

2

0

1

0

0

1

2

0

0 2

1

2

0

1

0

                

    

Se Q é uma região mais geral (não muito “complicada”) que um paralelepípedo, onde

f(x,y,z) é contínua, o processo é análogo ao que foi feito para integral dupla.

Consideramos a região Q envolvida por um paralelepípedo.

Vamos analisar as três primeiras integrações:

1) Integrando 1o em relação a z:

Suponhamos, por exemplo, que Q = {(x,y,z)R3; (x,y)  R ; z1(x,y)  z  z2(x,y)}. onde R

é uma região do tipo das analisadas na integral dupla, isto é, R é do tipo Rx ( tipo I ) ou

Ry ( tipo II ) e corresponde à projeção do sólido Q sobre o plano XY

3

Neste caso,    

R

z2 (x,y)

Q