Integrais Duplas sobre Regiões Limitadas
Por: flaviarsouza • 30/8/2015 • Pesquisas Acadêmicas • 449 Palavras (2 Páginas) • 385 Visualizações
Integrais Duplas sobre Regiões Limitadas ( coordenadas cartesianas)
Na integração de uma função contínua sobre uma região limitada no plano , é necessário analisarmos a região sobre a qual a função será integrada. No caso, estudaremos dois tipos de regiões:[pic 1][pic 2][pic 3]
() ou [pic 4][pic 5]
() .[pic 6][pic 7]
[pic 8]
Região do tipo 1
[pic 9]
Região do tipo 2
Considere a região de integração de f(x, y) ilustrada a seguir, [pic 10]
[pic 11]
Então R deve ser preenchida com retângulos em que cada elemento de área dos retângulos pode ser calculado como Δ Ak = Δyk Δxk. Na medida em que o número de retângulos cresce infinitamente, podemos pensar que o somatório infinito dos Δ Ak será aproximadamente a área da região R em questão.[pic 12]
Então, a integral dupla de f(x, y) sobre R será definida por:
[pic 13]
No caso particular em que podemos interpretar a integral dupla de sobre como o volume do sólido limitado inferiormente por e superiormente pela superfície . Temos então, [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Exemplo 1: Região R é retangular
Volume do sólido limitado pela superfície z = 1 − y2 e pelos planos x = −1, x = 1,y = −1 e y = 1.
[pic 21]
V = [pic 22]
V = [pic 23]
Considere um sólido limitado superiormente por z = f(x, y) e inferiormente pela Região tipo I.
[pic 24]
Neste caso o [pic 25]
[pic 26]
Considere um sólido limitado superiormente por z = f(x, y) e inferiormente pela Região tipo II.
[pic 27][pic 28]
Neste caso o [pic 29]
[pic 30]
Exemplo: Encontre o volume do prisma, representado a seguir, cuja base é o triângulo limitado inferiormente pelo eixo dos , pelas retas e superiormente pelo plano .[pic 31][pic 32][pic 33]
[pic 34]
A região R de integração está apresentada no gráfico a seguir:
...