Integração númerica na engenharia
Por: Vanessa Morais • 25/6/2015 • Trabalho acadêmico • 784 Palavras (4 Páginas) • 219 Visualizações
Integração Numérica
Quando não conseguirmos calcular a integral por métodos analíticos, mecânicos ou gráficos, então podemos recorrer ao método algorítmico. Em algumas situações, só podemos usar o método numérico. Por exemplo, se não possuirmos a expressão analítica de f, não podemos, em hipótese nenhuma, usar outro método que não o numérico. A integração numérica pode trazer ótimos resultados quando outros métodos falham. A solução numérica de uma integral simples é comumente chamada de quadratura.
Lembrando que
� 𝑛
∫ �(𝑥)�𝑥 = lim ∑ �(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖[pic 1]
� 𝑛→∞
𝑖=1
Que é a integral de Riemann, onde 𝑥𝑖 ∈[xi-1, xi] partes de [a, b], com x0 = a, xn = b e[pic 2]
Δxi = |xi – xi-1 |, para n suficientemente grande e Δxi suficientemente pequeno,
𝑛
∑ �(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖[pic 3]
𝑖=1
representa uma boa aproximação para
�
∫ �(𝑥)�𝑥
�
Convém lembrar, também, que, sendo f(x) não negativa em [a, b], ∫� �(𝑥)�𝑥 representa, numericamente, a área da figura delimitada por y = 0, x = a, x = b e y = f(x), como mostra a[pic 4]
figura abaixo:
[pic 5]
Quando f(x) não for somente positiva, pode-se considerar f(x) em módulo, para o cálculo da área, conforme figura abaixo:
[pic 6]
A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. Assim o problema fica resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer. Com este raciocínio podemos deduzir fórmulas para aproximar
�
∫ �(𝑥)�𝑥
�
Existem diversos métodos de integração numérica.
- Newton-Cotes
- Regra dos retângulos
- Regra dos trapézios
- Regra de Simpson
Aqui somente vamos utilizar a regra dos trapézios.
Seja o intervalo finito [a, b] no eixo x que é particionado em n subintervalos igualmente espaçados [xi, xi+1], com x0 = a e xn = b e hi = xi+1 - xi. Seja f uma função contínua ou simplesmente Riemann integrável, cuja integral não é conhecida.
Numericamente: A regra dos trapézios é obtida aproximando-se f por um polinômio interpolador do 1º grau (ao invés de zero, como na regra dos retângulos). Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 temos:[pic 7]
Assim, 𝐼𝑡 = 2 [�(𝑥0) + �(𝑥1)] , que é a área do trapézio de altura h = x1 - x0 e bases f(x0) e f(x1).[pic 8][pic 9]
Geometricamente: Podemos ver, conforme mostra a figura abaixo:
[pic 10]
A área de cada trapézio é (f(xi) + f(xi+1))/2 · hi. A soma destas áreas será uma
aproximação para ∫� �(𝑥)�𝑥.[pic 11]
Dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos, pela regra dos trapézios, o resultado,
que será indicado por T(h), é dada pela fórmula:
𝑛
𝑇(ℎ𝑛) = ∑ (
𝑖=0
�(𝑥𝑖) + �(𝑥𝑖+1)
2 ) . ℎ𝑖[pic 12]
Como hi é constante, temos ℎ =[pic 13]
�−�
. Então
𝑛[pic 14]
𝑛
�(𝑥𝑖) + �(𝑥𝑖+1)
Que pode ser rescrita como
𝑇(ℎ𝑛) = ℎ ∑ ( 2 )
𝑖=0
ℎ
𝑇(ℎ𝑛) = 2 [�(𝑥0) + 2�(𝑥1) + 2�(𝑥2) + 2�(𝑥3) + ⋯ + 2�(𝑥𝑛−1) + �(𝑥𝑛)][pic 15]
Exemplos:
Calcular ∫3,6 �𝑥 pela regra dos trapézios. Considere n=6 e 4 casas decimais com[pic 16]
3,0 𝑥[pic 17]
arredondamento.
Solução
Número de intervalos = 6 → Tamanho do intervalo: ℎ = �−� = 3,6−3,0 = 0,1[pic 18][pic 19]
𝑛 6
i=0 →x0=3 →�(3) =
1 = 0,3333
3[pic 20]
1
i=1 →x1=3,1 →�(3,1) =[pic 21]
i=2 →x2=3,2 →�(3,2) =
3,1
1
3,2[pic 22]
= 0,3226
...