Integrais Duplas sobre Regiões Limitadas

Integrais Duplas sobre Regiões Limitadas ( coordenadas cartesianas)

Na integração de uma função contínua   sobre uma região limitada no plano  , é necessário analisarmos a região sobre a qual a função será integrada. No caso, estudaremos dois tipos de regiões:[pic 1][pic 2][pic 3]

()  ou [pic 4][pic 5]

()  .[pic 6][pic 7]

[pic 8]

Região do tipo 1

[pic 9]

Região do tipo 2

Considere a região de integração de f(x, y) ilustrada a seguir, [pic 10]

                                     [pic 11]

Então R deve ser preenchida com retângulos em que cada elemento de área dos retângulos pode ser calculado como Δ Ak = Δyk Δxk.  Na medida em que o número de retângulos cresce infinitamente, podemos pensar que o somatório infinito dos Δ Ak será aproximadamente a área da região R em questão.[pic 12]

  Então, a integral dupla de f(x, y) sobre R será definida por:                         
[pic 13]

No caso particular em que   podemos  interpretar   a integral dupla de    sobre   como o volume do sólido limitado inferiormente por   e superiormente pela superfície   . Temos então, [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Exemplo 1: Região R é retangular

Volume do sólido limitado pela superfície  z = 1 − y2 e pelos planos x = −1, x = 1,y = −1 e y = 1.

[pic 21]

V =  [pic 22]

V = [pic 23]

Considere um sólido limitado superiormente por z = f(x, y) e inferiormente pela Região tipo I.

[pic 24]

Neste caso o [pic 25]

[pic 26]

Considere um sólido limitado superiormente por z = f(x, y) e inferiormente pela Região tipo II.

[pic 27][pic 28]

Neste caso o [pic 29]

[pic 30]

Exemplo: Encontre o volume do prisma, representado a seguir, cuja base é o triângulo limitado inferiormente pelo eixo dos , pelas retas    e  superiormente pelo plano   .[pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34]

A região R de integração está apresentada no gráfico a seguir:

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