Integral

Integral

Integral

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano1 e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.1

A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.

Integral definida

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva

Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]. A integral definida desta função é denotada como:

S é a integral da função, no intervalo entre a e b é o sinal da integral, é o integrando e os pontos e são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.

Onde é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] e com imagem no conjunto dos números reais

A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório.

Isto porque intuitivamente a integral de pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base tendendo a zero e altura, onde o produto é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:

A integral de no intervalo [a,b] é igual ao limite do somatório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por. O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de no intervalo.

Ou seja, que o limite esteja definido.

A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann, mas há outras formas (equivalentes).

Onde comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números onde

Valor ("altura") da função quando x é igual ao ponto amostral, definido como um ponto que está no subintervalo (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo).

Uma integral definida pode ser própria ou imprópria, convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita.

Integral indefinida

Integral indefinida é uma função (ou família de funções), assim definida :

se e somente se, ou, o que é a mesma coisa.

Relação entre integral definida e indefinida

A integral definida é um número; não depende da variável x. A integral indefinida, ao contrário, é uma função ou família de funções. A conexão entre elas é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Se for contínua em [a,b], então,ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a,b], resulta no valor da integral definida.

Teorema fundamental do cálculo

Onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função F(x).

O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite superior da integral, isto é, b, seja muito próximo de a.

Olhando na definição da integração como um limite, pode-se dizer que a integral, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode-se afirmar, sem causar um erro muito grande, que:

Vê-se que a função procurada F(x) é uma função tal que, quando tomada a sua derivada, obtém-se a função f(x). Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função pode-se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for derivada e em seguida o resultado integrado, obtém-se a função original.

Esta propriedade é chamada de Teorema fundamental do Cálculo.

Integral

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano1 e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.1

A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.

Integral definida

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva

Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]. A integral definida desta função é denotada como:

S é a integral da função, no intervalo entre a e b é o sinal da integral, é o integrando e os pontos e são os limites (inferior e superior, respectivamente)