Integral Sequências e Séries Infinitas

Sequências e séries infinitas.

Embora todos saibam como somar dois ou mais números, à soma infinita de números não é uma operação trivial. Neste capitulo, estudaremos essa operação, que é o tema principal da teoria das séries infinitas. Algumas vezes uma soma infinita de termos resulta em um número, como em

                                  [pic 1]

Conforme mostra a figura a seguir, essa soma é representada geometricamente pelas áreas indicadas no quadrado unitário “infinitamente dividido ao meio”, Somando-se a área dos retângulos menores é possível descobrir a área do quadrado unitário que eles ocupam. Quanto mais termos forem somados, mais perto chegaremos do valor total.

[pic 2]

Outras vezes é impossível chegar ao resultado de uma soma infinita, como em

1+2+3+4+5+..

A adição dos primeiros termos vai aumentando à medida que somamos os termos seguintes e o resultado desse procedimento acaba sendo maior que qualquer constante predefinida.

Com algumas séries infinitas, como as séries harmônicas, por exemplo,

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não fica tão claro se é possível chegar a um resultado. Não há como saber se chegamos cada vez mais perto do resultado à medida que somamos mais termos ou se estamos em um processo de somatório infinito.

Conforme desenvolvemos uma teoria sobre sequências e séries infinitas, uma aplicação importante nos fornece um método de representar uma função derivável f(x) como o somatório infinito de potências de x. Com esse método, aprofundamos nosso conhecimento sobre como avaliar, diferenciar e integrar polinômios a uma classe de funções muito mais geral que a dos polinômios. Investigamos também um método para representar uma função como a soma infinita de funções seno e cosseno — uma ferramenta poderosa no estudo de funções.

11.1-Sequências

Uma sequência é uma lista de números

[pic 4]

em determinada ordem. Cada a representa um número denominado termo da sequência. Na sequência

[pic 5]

por exemplo, o primeiro termo a1 = 2, 0 segundo termo a2 =4 de o n-ésimo termo a, = 2n. O inteiro n é denominado índice de na  e indica em que posição da lista n ocorre. Podemos considerar a sequência

Ap Mp ca Mao

como uma função que associa la a, 2a a,3aa, e, de maneira mais geral, associa o inteiro positivo n ao n-ésimo termo a. Esse pensamento nos remete à definição de sequência.

Uma segiiência infinita de números é uma função cujo domínio é o conjun- to dos inteiros positivos. .

A função associada à sequência 2, 4,6,8,10,12,..02n,...

atribui Lag, = 2,244, = 4 cassim por diante. O comportamento geral dessa função é descrito pela fórmula

a,=2n

Podemos também fazer com que o dominio seja o conjunto dos inteiros maiores que um número n, dado, e permitimos que sequências deste tipo também possam existir.

À sequência

12, 14, 16,18, 20,22,...

é descrita pela fórmula a = 10+2n. É possível também descrevê-la por meio de uma fórmula mais simples: b = 2n, na qual o indice n começa em 6 € vai aumentando. Para chegar à fórmula mais simples, atribuimos qualquer inteiro ao primeiro indice da sequência. Na sequência anterior, tad começa com a, enquanto a sequência [b | começa com b. A ordem é importante. À sequência 1,2,3, 4... não é igual à sequência 2, 1,3,4...

As sequências podem ser descritas por meio de regras que especifiquem seus termos, tais como

dy = Va Eid

bu= E Ud =

a E l

ds = (= jrt!

NJ E RE

Capítulo 11 Seguências e séries infinitas 65

ou por meio da listagem de seus termos:

fa) = [VI VB VB io Vim) (bl (1. Led.)

l 34 H= tem (o 3 » a Re H a fa EL =, ==, cat res |

Algumas vezes, escrevemos também tan = ÀVnbio

A Figura 11.1 apresenta duas maneiras de representar graficamente as se- guências. À primeira marca os pontos iniciais de a, 0, 0, +. 0. NO €ixo real. O segundo método apresenta o gráfico da função que define a segiiência. A função é definida somente sobre inteiros e o gráfico é formado por alguns pontos no plano xy localizados em (1, a), (2, q), es E, Dores

fes

valia

dy dy dy quis

Lp d +

o 1 É Ty wa fly ta e pu 2 a £ 1 1 Ny = = 4 4 ds Es a - ; 1 Es to pretl

FIGURA 11.1 As sequências podem ser representadas por pontos marcados no próprio cixo ou por pontos no plano sobre o qual o eixo horizontal n é o índice do termo co eixo vertical a é o seu valor.

Convergência e divergência

Algumas vezes, os números na sequência se aproximam de um valor úni- co à medida que o índice n aumenta. Êo que acontece na sequência

EA 1223" Era nte

cujos termos se aproximam de O conforme n aumenta, e na sequência

1234 1 (o 2 3" q ecc d = Eos)

na qual os termos se aproximam de 1. Por outro lado, sequências do tipo

VA VE ua Wen

66 Cálculo L-e Lt+>e l ds ——s—s Limiar à o Hd, 4 dg Deo f Hg L+ e Lf-========———- in aj-*-g-== A = s a CM arg) a é LILA a o 0| 123 N n

FIGURA 11.2 Se y = L é uma assintota horizontal da sequência de pontos Hr, a )), então a — L. Nesta figura, todos os a, depois de a, estão próximos ao menor de e,

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Biografia histórica

Nicole Oresme (e. 1320-1382)

NJ E RE

possuem termos que ficam maiores que qualquer outro número à medida que n aumenta; e sequências como

Else (ento)

oscilam entre 1 e -1, e nunca convergem a um único valor. À definição a seguir apresenta a definição para uma sequência que converge para um valor- limite. Ela nos diz que, se avançamos o suficiente na sequência e fazemos que o índice n seja maior que qualquer valor N, a diferença entre a e o limite da sequência se torna menor que qualquer número predefinido e > 0.

cia, limite A sequência fá) cocrergE pano para todo número positivo e | existe um inteiro N tal que para todo n

n2N = la, =L| O dado. Devemos mostrar que existe um inteiro N tal que para todo nm,