Integração númerica na engenharia

Integração Numérica

Quando não conseguirmos calcular a integral por métodos analíticos, mecânicos ou gráficos, então podemos recorrer ao método algorítmico. Em algumas situações, só podemos usar o método numérico. Por exemplo, se não possuirmos a expressão analítica de f, não podemos, em hipótese nenhuma, usar outro método que não o numérico. A integração numérica pode trazer ótimos resultados quando outros métodos falham. A solução numérica de uma integral simples é comumente chamada de quadratura.

Lembrando que

�        𝑛

∫ �(𝑥)�𝑥 = lim ∑ �(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖[pic 1]

�         𝑛→∞

---

𝑖=1

Que  é  a  integral  de  Riemann,  onde        𝑥𝑖   ∈[xi-1,  xi]  partes  de  [a,  b],  com  x0   =  a,  xn   =  b  e[pic 2]

Δxi = |xi – xi-1 |, para n suficientemente grande e Δxi suficientemente pequeno,

𝑛

∑  �(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖[pic 3]

𝑖=1

representa uma boa aproximação para

�

∫  �(𝑥)�𝑥

�

Convém lembrar, também, que, sendo f(x) não negativa em [a, b], ∫� �(𝑥)�𝑥 representa, numericamente, a área da figura delimitada por y = 0, x = a, x = b e y = f(x), como mostra a[pic 4]

figura abaixo:

[pic 5]

Quando f(x) não for somente positiva, pode-se considerar f(x) em módulo, para o cálculo da área, conforme figura abaixo:

---

[pic 6]

A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. Assim o problema fica resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer. Com este raciocínio podemos deduzir fórmulas para aproximar

�

∫  �(𝑥)�𝑥

�

Existem diversos métodos de integração numérica.

1. Newton-Cotes
2. Regra dos retângulos
3. Regra dos trapézios
4. Regra de Simpson

Aqui somente vamos utilizar a regra dos trapézios.

Seja o intervalo finito [a, b] no eixo x que é particionado em n subintervalos igualmente espaçados [xi, xi+1], com x0 = a e xn = b e hi = xi+1 - xi. Seja f uma função contínua  ou simplesmente Riemann integrável, cuja integral não é conhecida.

Numericamente: A regra dos trapézios é obtida aproximando-se f por um polinômio interpolador do 1º grau (ao invés de zero, como na regra dos retângulos). Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 temos:[pic 7]

Assim, 𝐼𝑡 = 2 [�(𝑥0) + �(𝑥1)] , que é a área do trapézio de altura h = x1 - x0 e bases f(x0) e f(x1).[pic 8][pic 9]

Geometricamente: Podemos ver, conforme mostra a figura abaixo:

[pic 10]

---

A  área  de  cada  trapézio  é  (f(xi)  +  f(xi+1))/2  ·   hi.  A  soma  destas  áreas  será      uma

aproximação para ∫� �(𝑥)�𝑥.[pic 11]

Dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos, pela regra dos trapézios, o resultado,

que será indicado por T(h), é dada pela fórmula:

𝑛

𝑇(ℎ𝑛) = ∑ (

𝑖=0

---

�(𝑥𝑖) + �(𝑥𝑖+1)

2        ) . ℎ𝑖[pic 12]

Como hi é constante, temos ℎ =[pic 13]

---

�−�

. Então

𝑛[pic 14]

𝑛

---

�(𝑥𝑖) + �(𝑥𝑖+1)

Que pode ser rescrita como

---

𝑇(ℎ𝑛) = ℎ ∑ (        2        )

𝑖=0

ℎ

𝑇(ℎ𝑛) = 2 [�(𝑥0) + 2�(𝑥1) + 2�(𝑥2) + 2�(𝑥3) + ⋯ + 2�(𝑥𝑛−1) + �(𝑥𝑛)][pic 15]

Exemplos:

1. Calcular ∫3,6    �𝑥 pela regra dos trapézios. Considere n=6 e 4 casas decimais com[pic 16]

3,0  𝑥[pic 17]

arredondamento.

Solução

Número de intervalos = 6 → Tamanho do intervalo: ℎ = �−�  = 3,6−3,0  = 0,1[pic 18][pic 19]

𝑛        6

i=0 →x0=3 →�(3) =

---

1  = 0,3333

3[pic 20]

1

i=1 →x1=3,1 →�(3,1) =[pic 21]

i=2 →x2=3,2 →�(3,2) =

---

3,1

1

3,2[pic 22]

---

= 0,3226