LISTA DE EXERCÍCIOS – EDO modelagem

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO

Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionado com este problema, consideraremos o modelo matemático mais simples para tratar sobre o crescimento populacional de algumas espécies, conhecido como o Modelo de Crescimento Exponencial de Malthus, que estabelece que a taxa de variação da população em relação ao tempo, aqui denotada por dN/dt, é proporcional à população presente. Em outras palavras, N = N(t) mede a população, nós temos [pic 1] onde a taxa k é uma constante.

Para levar em conta que a população y(t) tem um valor máximo sustentável yM

podemos supor que a taxa de crescimento além de ser proporcional a população atual, é proporcional também `a diferença entre yM e a população presente. Neste caso a população como função do tempo, y(t), é a solução do problema de valor

[pic 2], y(0) = y0 

DATAÇÃO DE CARBONO

A proporção de carbono 14 (radioativo) em relação ao carbono 12 presente nos seres vivos é constante. Quando um organismo morre a absorção de carbono 14 cessa e a partir de então o carbono 14 vai se transformando em carbono 12 a uma taxa que é proporcional a quantidade presente. Podemos descrever o problema de encontrar a quantidade de carbono 14 em função do tempo, y(t), como o problema de valor inicial

[pic 3],  y(0) = y0

A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura atual do corpo T(t) e a temperatura constante do meio ambiente Tm, ou seja, a temperatura do corpo, T(t) é a solução do problema de valor inicial

[pic 4],  T(0) = T0

JUROS

Vamos supor que façamos uma aplicação de uma quantia S0 em um banco e que a taxa de variação do investimento dS/dt é proporcional ao saldo em cada instante S(t). Podemos descrever o problema de encontrar S(t) como o problema de valor inicial.

[pic 5],  S(0) = S0  onde k é a taxa de juros;

Se supormos que faremos depósitos ou saques a uma taxa constante d (+ ou -) o modelo fica

[pic 6], S(0) = S0