Limites Matemáticos Conceito e Prática

1. LIMITES

Calcular um limite, utilizando uma abordagem informal, é investigar de que forma uma função  se comporta quando a variável independente  se aproxima de um determinado número  (pertencente ou não ao domínio de ). Esta investigação pode ser feita através de uma tabela, na qual calculamos as imagens de , no em torno do número ; analisando o gráfico da função na região do domínio ; ou algebricamente.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Exemplo: Use evidência numérica para conjecturar o valor de [pic 8]

Solução:

Observe que a função não está definida para , porém isto não tem relação alguma com o cálculo do limite, já que não vamos analisar exatamente em , mas sim nas suas proximidades. A tabela, abaixo, que apresenta os valores amostrais de  se aproximando de 1 de ambos os lados.[pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]	0,99	0,999	0,9999	0,99999	1	1,00001	1,0001	1,001	1,01
[pic 13]	1,994987	1,999500	1,999950	1,999995	??	2,000005	2,000050	2,000500	2,004988

Nos dois casos, os correspondentes valores de , parecem se aproximar cada vez mais de 2 e, portanto, conjecturamos que .[pic 14][pic 15]

Isso é consistente com o gráfico de :[pic 16]

[pic 17]

De um ponto de vista informal:

Se os valores de  puderem ser tornados tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas não iguais a a), então escrevemos:[pic 18]

[pic 19]

que deve ser lido como: “o limite de  quando x tende a a é L”, ou “ tende a L quando  tende a ”. Outra notação seria: .[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

De outra forma, isso significa que os valores de  ficam cada vez mais próximos do número L à medida que x tende ao número a, mas .[pic 25][pic 26]

Preste atenção na frase “mas ”, significa que no limite de  quando x tende a a nunca consideramos . Então, não precisa estar definida em a, somente nas proximidades de a.[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

[pic 31]

Na figura acima, note que, na parte (c),  não está definida e, na parte (b), . Mas, em cada caso, o limite é igual a L.[pic 32][pic 33]

1.  Limites Laterais

Costuma-se dizer que  é um limite bilateral, porque requer que os valores de  fiquem cada vez mais próximos de L quando x tendem a  por qualquer um dos dois lados. Algumas funções exibem diferentes comportamentos em cada um dos lados de um ponto , e nesse caso é necessário distinguir se  está próximo de  ao lado esquerdo ou do lado direito, para fins de examinar o comportamento do limite. Por exemplo, observe o gráfico da função .[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

[pic 41]

Quando  se aproxima de  do lado direito, os valores de  tendem ao limite , e quando  tende a  pela esquerda, os valores de  aproximam-se do limite . Denotamos esses limites escrevendo[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

 e [pic 50][pic 51]

Com essa notação, o índice superior  indica um limite à esquerda e o índice superior  indica um limite à direita.[pic 52][pic 53]

Isso leva à ideia geral de limites laterais.

Definição – dizemos que o limite de  quando x tende a a pela esquerda é igual a L, se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de L, tornando x suficientemente próximos de a e x menor do que a, e escrevemos: [pic 54][pic 55]

[pic 56]

Analogamente, definimos o limite de  quando x tende a a pela direita e escrevemos:[pic 57]

[pic 58]

        Da definição geral de limite, concluímos que:

[pic 59]

Quando os limites laterais tendem a L.

O limite bilateral de uma função  existe em um ponto  se, e somente se, existirem os limites laterais (no dado ponto) pela direita e pela esquerda, e os mesmos forem iguais.[pic 60][pic 61]

 se, e somente se,  =[pic 62][pic 63][pic 64]

1. Propriedades dos limites

Os limites obedecem a certas regras algébricas que podem ser usadas em computações, vejamos:

1. O limite de uma constante é a própria constante:

[pic 65]

[pic 66], com [pic 67]

Exemplo:  [pic 68]

1. O limite da soma ou diferença é igual a soma ou diferença dos limites, caso estes limites existam:

[pic 69]

[pic 70]

Exemplo:

[pic 71]

1. O limite do produto é o produto dos limites, caso estes limites existam:

[pic 72]

[pic 73]

Exemplo:

[pic 74]

1. O limite do quociente é igual ao quociente dos limites, caso estes limites existam:

[pic 75]

[pic 76]

Exemplo:

              [pic 77]

1. O limite da potência de uma função f(x) é igual à potência do limite da função, caso esse exista:

[pic 78]

[pic 79], com [pic 80]

Exemplo:

            [pic 81]

1. O limite de um produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pelo limite da função, caso esse limite exista:

[pic 82]

[pic 83]

1. O limite da raiz enésima de uma função é a raiz enésima do limite da função:

[pic 84]

[pic 85][pic 86], com [pic 87]  e [pic 88] se [pic 89]for par

Exemplo:

                [pic 90]

1. O limite de uma potência de base x:

[pic 91]

[pic 92][pic 93], com [pic 94] 

Exemplos resolvidos:

Calcule utilizando as leis do limite, os limites abaixo:

1. [pic 95]

 (Lei 2)[pic 96]

                                               (Lei 6)[pic 97]