Limites, calculo 1
Por: luizkayque • 27/4/2015 • Trabalho acadêmico • 1.201 Palavras (5 Páginas) • 229 Visualizações
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica
C´alculo 1 - Turma M
Lista 1 - 2
o
/2011
1. Verifique que
a) x
2
− y
2
= (x − y)(x + y);
b) x
3
− y
3
= (x − y)(x
2
+ xy + y
2
);
c) x
n
− y
n
= (x − y)(x
n−1
+ x
n−2
y + · · · + xy
n−2
+ y
n−1
);
d) x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
− xy + y
2
); Dica : Fa¸ca y = −(−y) e use o item b).
e) Use o mesmo argumento do item d) para encontrar uma fatora¸c˜ao para x
n
+ y
n
quando n ´e ´ımpar.
2. O que est´a incorreto na seguinte “demonstra¸c˜ao”. Seja x = y, ent˜ao
x
2
= xy
x
2
− y
2
= xy − y
2
(x − y)(x + y) = y(x − y)
x + y = y
2y = y
2 = 1.
3. Prove as seguintes propriedades do valor absoluto
a) |ab| = |a||b|;
b) |a|
2
= a
2
;
c) |a + b| ≤ |a| + |b|;
Dica: Como |a| ≤ |a| temos que −|a| ≤ a ≤ |a|. Analogamente −|b| ≤ b ≤ |b|.
Agora some essas desigualdades e conclua o resultado.
d) |a − b| ≥ |a| − |b|.
Dica: Note que |a| = |a − b + b| e use o item c).
4. Verifique o seguinte:
a) (ab)
−1
= a
−1
b
−1
; Dica: Multiplique a
−1
b
−1
por ab e veja o que acontece.
b)
a
b
=
ac
bc
, se b, c 6 = 0;
c)
a
b
+
c
d
=
ad+bc
bd
, se b, d 6 = 0;
d)
a
b
.
c
d
=
ac
bd
, se b, d 6 = 0;
e)
a
b
c
d
=
ad
bc
, se b, c, d 6 = 0.
5. Prove que
a) Se 0 ≤ x < y ent˜ao x
n
< y
n
, n = 1, 2, 3, . . . ;
Obs.: A demonstra¸c˜ao no caso geral ´e feita por indu¸c˜ao. Aqueles que n˜ao tem
familiaridade com esse tipo de argumento contentem-se em provar apenas os casos
n = 2 e n = 3. O mesmo se aplica aos demais itens dessa quest˜ao
b) Se x < y e n ´e ´ımpar, ent˜ao x
n
< y
n
;
c) Se x
n
= y
n
e n ´e ´ımpar, ent˜ao x = y;
d) Se x
n
=
...