Logaritmos

Faculdade Anhanguera de Campinas

Curso: Engenharia de Produção 2ª Série

Disciplina: Cálculo I

Atividades Práticas Supervisionadas: Etapas 3/4

Professor: Thiago Fonteboa

Campinas, 03 de Dezembro de 2012.

Etapa 3 : Logaritmos

Passo 1

Logaritmos são úteis para se resolver equações cujos expoentes são desconhecidos. Eles possuem derivadas simples, por isso eles são normalmente usados como soluções de integrais. Além disso, várias quantidades na ciência são expressas como logaritmos de outras quantidades.

Um exemplo: Funções exponenciais

Algumas vezes (especialmente em análise) é necessário calcular exponenciais arbitrárias f (x)g(x) usando-se apenas a exponencial natural ex:

f (x)g(x) = elog(f(xg(x))

= eg(x) log(fx))

Passo 2

Gráfico de g(x)=LOG x e gráfico de f(x)=LN x.

A diferença entre esse dois logaritmos é o resultado de uma mudança de inclinação, provocada por um fator menor que 1, no gráfico de f(x)=ln x.

Logaritmo nada mais é que uma operação matemática relacionada à exponenciação.

Exemplo simples para ilustrar a resposta acima:

Uma das propriedades dos logaritmos, tem que: log x = ln x / ln 10 = 1 / ln 10 * ln x

Dessa forma, o gráfico de y=log x é o resultado de uma mudança de inclinação, provocada pelo fator 1 / ln 10, do gráfico de y=ln x.

Como 2< e <3 temos 4< e2 <9 que, por sua vez, é menor que 10, ou seja, 4<e2<10.

Como a função ln é estritamente crescente, temos: ln 4 < ln e2 < ln 10 e daí, ln 4 < 2 < ln 10 que tomando os inversos, nos permite dizer que: 1 / ln 4 > 1 / 2 > 1 / ln 10 de onde concluímos que 1 / ln 10 < 1 / 2 < 1. Logo, o gráfico de g(x)=log x é o resultado de uma mudança de inclinação, provocada por um fator menor que 1.

Passo 3

Organização geral dos dados obtidos dos passos 1 e 2.

Etapa 4: Limites

Passo 1

CONCEITO DE LIMITE

O conceito de limite é utilizado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma seqüência de números reais, à medida que o índice (da seqüência) vai crescendo, e "E" tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Limites:

Veja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x | y = 2x + 1 |

1,5 | 4 |

1,3 | 3,6 |

1,1 | 3,2 |

1,05 | 3,1 |

1,02 | 3,04 |

1,01 | 3,02 |

| x | y = 2x + 1 |

0,5 | 2 |

0,7 | 2,4 |

0,9 | 2,8 |

0,95 | 2,9 |

0,98 | 2,96 |

0,99 | 2,98 |

|

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:

Lim (2x +1) = 3

x->1

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.

Isso mostra o comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Não é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.

Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Notamos que quando x se aproxima de 1 (x1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. nós procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y 3. Logo: o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x) em x = 1. Podemos dizer que, ambas têm o mesmo limite.

Limites e suas propriedades:

Dependendo do caso, a definição de limite pode ser bem pouco manipulável, entretanto nem sempre é necessário recorrer a ela para se investigar o limite de uma função. Na seguinte proposição está entendido que f e g têm o mesmo domínio e que a variável independente x sempre pertence a esse domínio. Adotamos essa prática sempre que necessário para não carregar os enunciados com condições obvia.

1º)

O limite de soma é a soma dos limites.

O limite de diferença é a diferença dos limites.

Exemplo:

2º)

O limite de produto é o produto dos limites.

Exemplo:

3º)

O limite de quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

Exemplo:

Propriedade das Funções contínuas:

Se f(x) e g(x) são contínuas em x = a, então: