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Dissipação de energia em sistemas mecânico oscilantes

Descrição

A dissipação de energia é investigada em sistemas oscilantes como  o sistema massa-mola e o pêndulo simples. A amplitude de oscilação do sistema é analisada em função do tempo através da determinação do fator de qualidade Q e da constante de amortecimento γ.

Objetivos

Investigar o comportamento da amplitude de oscilação em função do tempo de um sistema massa-mola e de um pêndulo simples. Determinar o fator de qualidade Q e da constante de amortecimento γ dos sistemas estudados. Obter o fator de qualidade a partir da razão entre as amplitudes máximas sucessivas de oscilação.

Procedimento

1. Primeiramente, analisaremos o sistema massa-mola a fim de investigarmos o comportamento da amplitude de oscilação em função do tempo no regime sub-amortecido. Para este sistema, deslocamos a massa da posição de equilibro e o soltamos a partir do repouso considerando uma pequena amplitude de oscilação. Cuidadosamente, contamos aproximadamente o número de ciclos que o sistema realiza até que a sua amplitude de oscilação diminua para metade do seu valor inicial. O tempo total para que isso aconteça será igual ao número de ciclos observados multiplicado pelo período médio de cada ciclo que deve ter sido medido anteriormente (veja o experimento sobre osciladores).  Repita esse procedimento para diferentes amplitudes  e anote os valores obtidos na tabela I. 2. O fator de qualidade Q é definido como a razão entre a energia máxima armazenada no sistema e a energia perdida em um ciclo multiplicado por   De acordo com a definição, o fator de qualidade é inversamente proporcional a perda relativa de energia por ciclo ( ΔΕ/Ε), ou seja, quanto maior a perda de energia por ciclo menor o fator de qualidade e vice-versa.  A fórmula que expressa o fator de qualidade Q é dada por[pic 1] [pic 2] onde T representa o período do sistema massa-mola e T1/2 o tempo necessário para que a amplitude de oscilação decaia para a metade de seu valor inicial. Por sua vez, a constante de amortecimento γ  pode ser determinada a partir da seguinte relação   [pic 3] onde b é a constante de proporcionalidade entre a força de amortecimento e a velocidade enquanto m é a massa do sistema oscilante. Para as medidas realizadas no item 1, com a ajuda das relações acima calcule o fator de qualidade e a constante de decaimento   . Preencha os valores calculados na tabela II.[pic 4] 3. Com o objetivo de verificar a dependência das quantidades medidas como:  o período T, o tempo T1/2, o fator de qualidade Q e a constante de amortecimento γ  em função da massa do sistema repita o procedimento descrito nos itens 1 e 2  para cinco massas diferentes com uma certa amplitude de oscilação. Preencha os valores obtidos na tabela III. 4. Analisaremos agora a atenuação da amplitude de oscilação em função do tempo para cada ciclo de oscilação. Para isso, definimos as quantidades Tn, como o tempo referente a n ciclos após o sistema ser solto do repouso para oscilar, ou seja, T1 o tempo até primeiro ciclo, T2 o tempo até o segundo ciclo e assim por diante.  Meça para cada um desses tempos Tn  a respectiva amplitude máxima An e calcule a razão r entre duas amplitudes sucessivas An/An-1 .  Preencha com os dados obtidos a tabela IV.

Atividades

A construção dos gráficos será feita com a ajuda de uma planilha eletrônica. Apresentamos um gráfico abaixo que ilustra o comportamento da amplitude em função do tempo de um sistema massa-mola no regime sub-amortecido. [pic 5] A partir desse comportamento ilustrado, determine o período de oscilação T, a freqüência angular w (2π/T) do sistema massa-mola e as amplitudes máximas An  (n=0,1,2,3...) de cada ciclo. Por simplicidade, determine primeiramente as amplitudes A0 e A1, diretamente do gráfico, referentes à amplitude inicial e amplitude máxima após o primeiro período de oscilação. Calcule a razão r entre essas duas amplitudes e verifique que essa razão permanece constante durante toda a atenuação. A oscilação do sistema é atenuada por uma envoltória que mostra a diminuição da amplitude de oscilação em função do tempo. Nesse sentido, meça o tempo T1/2 necessário para que a amplitude de oscilação decaia para a metade de seu valor inicial.  Considere as fórmulas apresentadas na seção sobre o procedimento experimental e calcule a constante de amortecimento   e o fator de qualidade Q. Anote os valores obtidos na tabela abaixo[pic 6] T w r T1/2 [pic 7] Q   Ilustramos abaixo o comportamento de dois osciladores com mesmo período, mas com diferentes constantes de amortecimento. [pic 8] Determine para os dois osciladores as amplitudes máximas em cada ciclo. Calcule a razão r entre duas amplitudes sucessivas, o tempo T1/2 necessário para que a amplitude de oscilação decaia para a metade de seu valor inicial, a constante de amortecimento   e o fator de qualidade Q. Preencha os resultados obtidos na tabela abaixo.[pic 9] Oscilador r T1/2 [pic 10] Q 1 2 Para os sistemas que apresentam diferentes períodos de oscilação e mesma constante de amortecimento apresentado complete a tabela Oscilador T T1/2 [pic 11] Q 1 2 [pic 12] Para o sistema massa-mola no regime sub-amortecido (γ <<, a amplitude de oscilação possui a seguinte dependência em relação ao tempo[pic 13] [pic 14] onde, A é a amplitude inicial (no tempo t=0) de oscilação; γ é a constante de amortecimento; T é o período do sistema massa-mola. Com as medidas realizadas e organizadas nas tabelas I e II obtenha um valor médio para a constante de amortecimento γ. A partir disso, substitua o valor da constante de amortecimento γ, do período T e da amplitude inicial A na expressão acima e construa um gráfico da evolução da amplitude de oscilação em função do tempo com o auxílio de uma planilha eletrônica.  Com os dados organizados na tabela III, para diferentes massas do sistema massa-mola e considerando uma determinada amplitude inicial A, construa gráficos da evolução da amplitude de oscilação desses sistemas em função do tempo. A partir da razão r entre as amplitudes sucessivas máximas é possível investigar o percentual de energia o que o sistema é atenuado em cada ciclo. Primeiramente reescrevemos a perda relativa de energia de cada ciclo n da seguinte forma [pic 15] Onde usamos o fato que a energia do ciclo é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude. Com os dados da tabela IV, calcule a razão entre as amplitudes sucessivas máximas e verifique a independência desse valor com relação a cada ciclo. Calcule a partir da fórmula acima a perda relativa de energia. Levando em conta a expressão acima, o fator de qualidade Q pode ser reescrito como   [pic 16] Compare o resultado obtido através dessa expressão com os resultados calculados anteriormente. Mostre que a razão entre duas amplitudes máximas sucessivas pode ser reescrita como [pic 17] o que nos permite concluir que uma vez conhecida a taxa com que a amplitude de oscilação é atenuada e o período de oscilação é possível determinar a constante de amortecimento  γ. Para isso, resolva a expressão acima em termos da constante de amortecimento γ e mostre que [pic 18]