MOMENTO DE INÉRCIA: UMA APLICAÇÃO DO CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL

MOMENTO DE INÉRCIA: UMA APLICAÇÃO DO CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL

1Luanna Castro de Almeida ([e-mail]), 1Vivian Araújo Candeia Dutra ([e-mail]), 1Francisca Mirtes Nunes dos Santos ([e-mail])

1Universidade Federal Rural do Semi-árido – UFERSA. Graduando em Ciência e Tecnologia Campus Pau dos Ferros/RN.

RESUMO

O cálculo diferencial e integral passou a ter aplicações constantes em quase todas as áreas do conhecimento devido a sua versatilidade, destacando-se sobretudo na modelagem de soluções à problemas da engenharia, no cálculo de carregamentos, deformações e momentos de inércia, por exemplo. Para o caso específico do momento de inércia, o mesmo é definido como sendo uma resistência de um dado corpo a entrar em rotação ou alterar essa condição de movimento. Essa grandeza tem relação direta com a distribuição de massa em relação ao eixo em que o corpo está rotacionando. Com base no que foi exposto, o presente trabalho tem por objetivo realizar uma revisão teórica acerca dos conceitos do momento de inércia relacionados com as aplicações das integrais, deduzindo a inércia rotacional para os corpos rígidos de forma mais simples. Como percurso metodológico adotado, a pesquisa faz uso de uma revisão teórica dos assuntos abordados ao longo do trabalho. A discussão dos mesmos é de caráter qualitativo e o tipo de pesquisa é classificada como bibliográfica. Por fim, pode-se concluir que o cálculo do momento de inércia dos corpos rígidos é semelhante, mudando somente a diferencial de massa dm. Para tanto, deve-se primeiramente observar a forma do corpo em que vai se realizar esta aplicação, determinando se sua densidade é linear, superficial ou volumétrica, assim como definir os intervalos corretos de integração.

Palavras Chave: Cálculo diferencial e integral, corpo rígido, momento de inércia.

1. INTRODUÇÃO

O cálculo diferencial e integral é uma das principais invenções do saber humano. Esta ferramenta para resolução de problemas simples e complexos teve origem no século XVII, surgindo em decorrência dos estudos da cinemática e da dinâmica realizados por Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716) e L’Hospital (1661-1704) (BARON e BOS, 2001).  

A base do cálculo diferencial e integral está fundamentada em conceitos geométricos e analíticos. O seu advento conferiu a matemática um poder significativo, além disso, possibilitou a resolução de problemas e a explicação de fenômenos que ainda não haviam sido compreendidos pelo homem.

De acordo com Baron e Bos (1985), o cálculo pode ser resumido basicamente em duas operações principais: a derivação e a integração. Nesse sentido, o autor ainda relata que o processo de derivar está intimamente ligado na mensuração de como uma grandeza varia, crescendo ou decrescendo, enquanto o de integrar baseia-se no soma de intervalos infinitesimais de área, comprimento, etc.

Nas etapas iniciais do seu desenvolvimento, a derivação e integração eram realizadas separadamente. Somente a partir da formulação do teorema fundamental do cálculo por Barrow (1630–1677), estas operações puderam ser relacionadas (STEWART, 2003). O mesmo ainda afirma que se uma função contínua f(x) for integrada e posteriormente derivada, tem-se por resultado a função de partida. A partir disso, conclui-se que a derivada e a integral são operações inversas.

Em decorrência dos fatos citados, o cálculo diferencial e integral passou a ter aplicações constantes em quase todas as áreas do conhecimento devido a sua versatilidade, destacando-se sobretudo na modelagem de soluções à problemas sociais, econômicos, físicos, químicos e da engenharia (BARON e GUS, 1985).

No tocante das operações de integração na engenharia, pode-se afirmar que esta configura as bases para a soluções de problemas reais. Sem o uso das integrais seria impossível o cálculo do resultado de carregamentos, deformações, centros de massa e de gravidade, além de momentos de inércia para os mais diversos materiais.

Para o caso específico do momento de inércia, Tipler e Mosca (2006) o define como sendo uma resistência de um dado corpo a entrar em rotação ou alterar essa condição de movimento. O autor ainda afirma que essa grandeza tem relação direta com a distribuição de massa em relação ao eixo em que o corpo está rotacionando.

Com base no que foi exposto, o presente trabalho tem por objetivo realizar uma revisão teórica acerca dos conceitos do momento de inércia relacionados com as aplicações das integrais, deduzindo a inércia rotacional para os corpos rígidos de forma mais simples.

1. METODOLOGIA

Como percurso metodológico, a pesquisa embasa-se em um uma revisão teórica dos assuntos abordados ao longo do trabalho. A discussão dos mesmos é de caráter qualitativo e, de acordo com Gil (2008), o tipo de pesquisa classifica-se como bibliográfica devido ao fato de que o material base para sua realização é de artigos científicos e livros já publicados.

1. DESENVOLVIMENTO

Em um experimento empírico, uma pessoa é posta em rotação a uma determinada velocidade com os seus braços juntos ao corpo. Em um dado momento, o indivíduo abre os braços e, nesse instante, percebeu-se que a velocidade em que o mesmo rotacionava diminuiu consideravelmente.

Tomando base na observação do fenômeno comentado, notou-se que com a abertura dos braços, o indivíduo distanciou parte da sua massa de seu eixo de rotação, em contrapartida, quando mantinha os braços juntos ao seu corpo deixava toda sua massa próxima ao mesmo.

 Nesse sentido, de acordo com os conceitos básicos da mecânica clássica, o distanciamento de parte de sua massa de seu eixo de rotação proporcionou uma maior resistência a continuação do movimento, denominada de inércia rotacional ou momento de inércia (HALLIDAY, RESNICK e WALKER, 2006).

O momento de inércia é uma propriedade de um conjunto de partículas ou dos corpos rígidos, determinada a partir de uma lei que relaciona a distribuição de massa em torno de um eixo de rotação.

A Equação 1 representa o momento de inércia em função de sua distância r do eixo de rotação para uma carga pontual de massa m.

[pic 1]                                                                  (1)

A unidade de medida do momento de inércia é obtido pela análise dimensional da Equação 1, sendo dada por quilograma vezes metro ao quadrado (kg·m²). Para o caso de um sistema de partículas, a inércia rotacional é determinada a partir da soma da contribuição individual de cada partícula, assim como apresentada na Equação 2.