Matematica

2. Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: "Para compras entre 100 e 600 reais compre (x + 100) reais e ganhe ( x/10)% de desconto na sua compra". Qual a maior quantia que se pagaria à mercearia nesta promoção? Resposta: 302,50.

A quantia é Q(x) = (x + 100) - (x+100)(x/10)(1/100) = x + 100 - . (x²/1000) - (x/10)

Q(x) = (-x² /1000) + (9/10)x + 100

Sabendo-se que numa função f(x) = ax² + bx + c, o valor de x que torna f(x) máximo é -b / 2a, (a não nulo). Temos que:

Q(x) é máximo quando x = -(9/10) / 2(-1/1000) = (9/10)(1000/2) = (900/2) = 450. Assim, a maior quantia é:

Q(450) = (450 + 100) - (450 + 100)(450/10)(1/100) = 550 -247,50 = 302,50

4. (PUC-SP-03) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$ 6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$ 2.760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser em reais: Resposta: R$ 37,50.

$= 6 + 1,5x pessoas= 460-10x

o x e o numero de vezes que você vai acrescentar $1,5, e a cada aumento -10 pessoas vão participar

f(x)= valor total= $ vezes o numero de pessoas

f(x)=(6 + 1,5x).( 460-10x)

f(x)=-15x²=630x+2760

x=-b/2a

x=-630/-2.15=21

logo,o preço é= 6+1,5.21 = R$ 37,50

6. O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade de freqüentadores (x) por sessão através da relação;

P 0,2x 100.

a) Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço de ingresso for R$ 60,00? Resposta: R$ 12.000,00

a) 60 = -0,2x + 100

0,2x = 100 - 60 = 40

x = 40/0,2 = 400/2

x = 200

Receita = 60 x 200 = 12.000 reais

b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por sessão? R$ 50,00

y = Px = (-0,2x + 100)x = -0,2.x² + 100x

→ parábola c/concavidade voltada p/baixo, pois o coeficiente de x² é negativo

Coordenadas de seu vértice:

xv = -100/-0,4 = 250

yv = Px(máximo) = (-0,2.250 + 100).250 = (-50 + 100).250 = 50.250 = 12500

P = 12500/250 = R$ 50,00

8. (UNIRIO) Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por .....

Sabendo-se que cada produto é vendido por R$ 10,00, o número de produtos que devem ser vendidos para se ter um lucro de R$ 44,00 é: Resposta: 15

Resposta: O lucro é dado pela diferença entre a receita e o custo.

Receita->R(x)=(preço de venda).(unidades vendidas)=>

=>R(x)=10x

Logo:

Lucro=L(x)=R(x)-C(x)=10x - (-x²+22x+1)=10x+x²-22x-1=>

L(x)= x²-12x-1 Igualando L(x)=44,teremos:

x²-12x-1=44=>x²-12x-45=0=>x"=15 e x'= -3(não serve)

Logo,devem ser vendidas 15 unidades

(10) (UFPE-02) Suponha que o consumo de um carro para percorrer 100 km com velocidade de x km/h seja dado por .......

Para qual velocidade este consumo é mínimo? Resposta: 50km/h

Resposta: A função C(x) apresentada é do segundo grau, portanto seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima (pois "a" é positivo).

Ex.: ax² + bx + c => Parábola com concavidade para cima

-ax² + bx + c => Parábola com concavidade para baixo

Portanto, para sabermos a qual velocidade o consumo será mínimo, teremos que analisar o gráfico da função C(x). Nesse gráfico o eixo y é o consumo e o eixo x é a velocidade.

Chamamos o valor mínimo que a parábola pode assumir de Vértice da parábola. O vértice da parábola tem coordenadas (Xv, Yv), que podem ser calculados por:

Xv = -b/2a

Yv = -Δ/4a

Como o problema só perguntou a velocidade (eixo x) na qual o consumo é mínimo, só precisamos saber o valor de Xv.

Calculando:

Xv = -b/2a

Xv = -(-0,6) / 2.0,006Xv = 0,6 / 0,012

Xv = 50 Km/h

12. O lucro de uma empresa é dado por ...... onde x é o número de unidades vendidas. Para que valor de x é obtido o lucro máximo? Resposta: 6 unidades.

14) Um comerciante compra peças diretamente do fabricante ao preço de R$ 720,00 a caixa com 12 unidades. O preço de revenda sugerido pelo fabricante é de R$ 160,00 a unidade. A esse preço o comerciante costuma vender 30 caixas por mês. Contudo, a experiência tem mostrado que a cada R$ 5,00 que dá de desconto no preço sugerido, ele consegue vender 3 caixas a mais. Por quanto deve vender cada peça para que seu lucro mensal seja máximo? Resposta: R$ 135,00.

O custo unitário por peça é:

720/12 = 60 reais

O lucro ao preço sugerido por peça é:

160 - 60 = 100 reais

A função lucro pode ser escrita, em função da quantidade de descontos de 5 reais como:

L(x) = (100 - 5x).(30 + 3x).12

L(x)