Matematica

Lista 4 - Aplicações de Derivadas

Sistemas

Funções Marginais – Em Economia e Administração, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x.

Custo marginal (Cmg) – Variação do custo total decorrente da variação de uma unidade na quantidade produzida.

Receita marginal (Rmg) – Variação na receita total decorrente da venda de uma unidade na quantidade vendida do bem.

R(x) = p.x onde p é a produção

x é a unidade

Lucro marginal (Lmg) – Variação do lucro total.

L(x) = R(x) – C(x)

Exemplo 1: Seja C(x) a função custo de produção de x unidades de um produto. Chamamos de custo marginal à derivada de C(x).

Consideremos a função custo C(x) = 0,01x3 – 0,5x2 + 300x + 100. Determinar o custo marginal para x =10.

Exemplo 2: Seja R(x) a função receita de vendas de x unidades de um produto. Chamamos de receita marginal a derivada de R(x) em relação à x.

Dada a função receita R(x) = -2x2 + 1000x, determine a receita marginal no ponto x = 50.

Exemplo 3: Uma empresa tem uma capacidade de produção máxima de 200 unidades por semana. A função de demanda do produto é p = - 0,2x + 900 e a função custo semanal é C = 500 – 8x + x2. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro?

Exercícios - Aplicações

1) Dada a receita R(x) = -2x2 + 10x, obtenha o valor de x que a maximiza. x = 5/2

2) Dada a função de demanda p = 40 – 2x, obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita. p = 20

3) Com relação ao exercício anterior, qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro, se a função custo for C = 40 + 2x? p = 21

4) A função custo mensal de fabricação de um produto é C = , e o preço de venda é p = 13. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar o máximo lucro? x = 4,65 aproximadamente

5) Dada a função custo anual de uma empresa C(x) = 40x – 10x2 + x3:

a) Ache o custo médio Cme (x) = . Cme =40 – 10x + x2

b) Ache os intervalos de crescimento e decrescimento do custo médio, indicando eventuais pontos de máximo e mínimo. x < 5 decres; x > 5 cresc.; 5 é MIN

6) A função demanda mensal de um produto é p = 40 – 0,1x, e a função custo mensal é C = . Obtenha o valor de x que maximiza o lucro, e o correspondente preço. x = 12,16

7) Uma empresa opera num mercado em que o preço de venda é constante e igual a $ 20,00. Seu custo marginal mensal é dado por Cmg = 3x2 – 6x + 15. Qual a produção mensal que dá o máximo lucro? x = 2,63

8) Uma empresa produz um produto com custo mensal dado por C(x) = . Cada unidade do produto é vendida a $ 31,00. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal? x = 7

9) Dada a função receita R(x) = -2x2 + 1000x, obtenha a receita marginal no ponto x = 50. R’(50) = 800

10) Dada a função custo C(x) = 0,1x3 – 18x2