Metodo dos Elementos Finitos

Departamento de MatemÆtica | Instituto de CiŒncias Exatas | Universidade Federal de Minas Gerais

Uma breve introdu ªo ao

MØtodo dos Elementos Finitos

Breno Loureiro Giacchini

Janeiro de 2012

Conteœdo

PrefÆcio        1

1 Introdu ªo        2

2 O problema unidimensional        3

2.1 Formula ªo fraca        3

2.2 Discretiza ªo do problema        4

2.3 ExistŒncia e unicidade da solu ªo do problema aproximado        6

2.4 Um caso particular: parti ªo regular do intervalo        7

3 O problema bidimensional        8

3.1 Formula ªo fraca        8

3.2 Problema aproximado        9

3.3 Uma base para Vd        11

3.3.1 Enumera ıes dos vØrtices        11

3.3.2 Fun ıes da base        12

3.3.3 CÆlculo dos gradientes        15

3.4 Alguns exemplos de malhas        17

3.4.1 Exemplo 1        17

3.4.2 Exemplo 2        20

3.5 Outros casos        23

Bibliogra a        23

PrefÆcio

Em meio a tantos bons livros e apostilas sobre o MØtodo dos Elementos Finitos, o questionamento do porquŒ da escrita deste texto nªo Ø de todo descabido. O que nos motivou a escrevŒ-lo Ø a di culdade de se encontrar um texto, em portuguŒs, que apresente o MØtodo de forma simples e direta, que lhe forne a uma idØia geral e ao mesmo tempo permita sua implementa ªo em casos simples, mas sem grandes delongas em formalismos matemÆticos e pre mbulos sobre anÆlise funcional, por exemplo.

Admitimos, pois, que nossa exposi ªo do MØtodo nªo Ø feita com todo rigor matemÆtico nem em toda sua generalidade, mas cremos que essa op ªo satisfaz ao estudante que deseja entender sua essŒncia e aplicÆ-lo, de forma rÆpida, em alguns casos; ou ao interessado em ter um primeiro contato com essa tØcnica de resolver numericamente problemas de valores de contorno. Por ser um texto introdut rio, que dÆ apenas um sabor do MØtodo, nos limitamos contemplar o problema de Dirichlet homogŒneo uni e bidimensional e a utilizar, neste caso, apenas elementos triangulares.

Deixamos expresso nosso agradecimento ao apoio da Funda ªo de Amparo Pesquisa do Estado de Minas Gerais FAPEMIG , que nanciou o projeto de pesquisa Obten ªo dos autovalores e autofun ıes do laplaciano via o quociente de Rayleigh, do qual o estudo do MØtodo dos Elementos Finitos e a escrita deste texto foram partes integrantes. TambØm agradecemos ao professor Rodney JosuØ Biezuner, nosso orientador neste projeto.

Cap tulo 1

Introdu ªo

Diversos problemas da F sica, Engenharia e outras ciŒncias aparecem sob a forma de uma equa ªo de Poisson

        −∆u = f (x)        em Ω        (1.1)

com condi ªo de fronteira de Dirichlet u = c sobre ∂Ω, sendo c uma fun ªo constante por partes. Aqui ∆ Ø o operador laplaciano1, Ω representa o aberto limitado no qual o problema estÆ de nido e ∂Ω, sua fronteira. Quando c = 0 temos a condi ªo de Dirichlet homogŒnea. Ao conjunto de uma equa ªo de Poisson com uma condi ªo de Dirichlet homogŒnea chamamos um problema de Dirichlet homogŒneo:

         −∆u = f(x)        em Ω,

(1.2)

        u = 0        sobre ∂Ω.

Dependendo da geometria do dom nio Ω a solu ªo do problema pode ser obtida analiticamente na forma de sØries de Fourier. Exemplos clÆssicos normalmente estudados num curso de equa ıes diferenciais parciais sªo o caso de ret ngulos, semiplanos, discos e paralelep pedos. No entanto, Ø preciso recorrer a mØtodos numØricos caso o dom nio se torne mais elaborado. O mØtodo dos elementos nitos (MEF) Ø conhecido por ser robusto e aplicÆvel em dom nios deveras elaborados. Essas tambØm sªo algumas de suas vantagens sobre o mØtodo das Diferen as Finitas, tambØm bastante popular.

A idØia central do MEF Ø discretizar o dom nio, representando-o, ainda que de forma aproximada, por uma reuniªo de um nœmero nito de elementos; e resolver nªo o problema original (1.2), mas sim um que lhe Ø associado sua forma fraca. No caso de um dom nio plano, os elementos podem ser tri ngulos ou quadrilÆteros. O mØtodo pode ser utilizado para resolver nªo s problemas el pticos, como o hÆ pouco mencionado; e as condi ıes nªo necessitam ser de Dirichlet: o MEF tambØm Ø aplicÆvel no caso de condi ªo de Neumann ou Robin. Optamos por explorar neste texto apenas elementos triangulares e considerar somente o problema (1.2), jÆ que nosso objetivo Ø propiciar um primeiro contato com o MEF.

Analisaremos, primeiramente, o caso do problema unidimensional, que Ø bastante simples e œtil como introdu ªo ao mØtodo. Em seguida, passaremos ao problema bidimensional, apresentando e exempli cando como o MEF se lhe aplica. Cremos que a partir da o leitor ou a leitora jÆ estarªo aptos a utilizar dessa ferramenta na resolu ªo de alguns problemas de interesse.

[pic 1]

n

1Se Ω ⊂ Rn e u fun ªo[pic 2].

Cap tulo 2

O problema unidimensional

2.1        Formula ªo fraca

O problema de Dirichlet homogŒneo unidimensional se escreve

        [pic 3] dx        em [0,1],        (2.1)