O Conceito de Derivada e Regras de Derivação

FACULDADE ANHANGUERA

ATPS CALCULO II

ENGENHARIA CIVIL – Turma E – Noturno

Professor: Douglas

[pic 1]

Nome: Anderson Ferreira de Almeida                         RA: 6451311823

Nome: Clayton Reinaldo S. Santos                                 RA: 6445308593

Nome: Crislaine Alves                                         RA: 6274246463

Nome: Diuliane Sampaio                                         RA: 6656411827

Nome: Graziela S. Silvira                                         RA: 6450332089

Nome: Karen Magalhães Soares                                 RA: 8493190952

Nome: Kátia Francielle                                         RA: 6814008117

Etapa 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Passo 1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com Δt→ 0.

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Velocidade instantânea: Velocidade instantânea é definida com o limite da relação entre o espaço percorrido em um intervalo de tempo que tende a 0. Quando o intervalo de tempo não tende a zero, a velocidade é considerada velocidade média. Velocidade instantânea pode ser definida como a velocidade de um corpo em um exato instante escolhido.

Como exemplo tomemos a velocidade apontada em um radar fotográfico, a qual se trata de uma velocidade instantânea, esse cálculo se basea no limite ∆S/∆T onde ∆T tende a 0.

Velocidade média é obtida a partir de um espaço percorrido T1 e T2:

T1●---------------------------------------------●T2

Exemplo: Função x = 3 t3 +2 t² - 16t – 6

Velocidade no tempo 3s:

V = d.x 3 . 3t² + 2 . 2t - 16 ➔  V = 9t² + 4t - 16 ➔  V =  77m/s

        d.t

Aceleração no tempo 2s:

V = d.x 3 . 3t² + 2 . 2t - 16 ➔ a = d.v  9t² + 4t - 16  ➔ a = 18t + 4➔ a = 40m/s²

        d.t                                          d.t

Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Tempo (s)	Espaço (m)	Velocidade (m/s)	Aceleração (m/s²)
0	2	0	2
1	3	2	2
2	6	4	2
3	11	6	2
4	18	8	2
5	27	10	2

[pic 2]

[pic 3] [pic 4]

[pic 5]

Passo 3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.

Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Para calcularmos a velocidade (instantânea) precisamos de conhecer a posição y do objecto em cada instante x, i.e. precisamos de conhecer a função y = f(x). Munidos deste conhecimento, a velocidade em cada instante x é o valor para o qual se aproxima a velocidade média entre os instantes x e x + Δx (i.e. Δf/Δx ), quando o intervalo de tempo Δx se aproxima de 0, ou seja o limite do quociente anterior. A este tipo de limites chamamos derivada. O cálculo da velocidade pode ser visualizado na figura da esquerda e no applet da direita onde, com o auxílio do rato, se podem mudar as posições dos pontos A e B.

[pic 6]

Podemos ver que a velocidade média se vai aproximando do declive da reta tangente no ponto x, pois a reta secante, que une os pontos f(x) e f(x + Δx), tende para a reta tangente quando Δx se aproxima de 0. 

No caso geral em que a variável y não é necessariamente a posição e a variável x não é necessariamente o tempo, chamamos derivada de f no ponto x à velocidade no ponto x, ou seja o declive da reta tangente. A interpretação geométrica da derivada permite-nos visualizá-la de uma forma bastante pitoresca.