O Cálculo Integral: alguns fatos históricos

Etapa 1

Passo 1

O Cálculo Integral: alguns fatos históricos

A integral é um dos pilares do cálculo, ao lado do conceito de derivada. As noções subjacentes á deia de integral remontam á Antiguidade, mas o conceito foi definido somente na Era Moderna como consequência da contribuição de muitos matemáticos. Newton (1643-1727) e Leibniz (1646-1716) definiram original e independentemente o conceito de integral, mas foi Riemann (1826-1866) que formulou a denominação atual, nos padrões da Análise contemporânea. Depois dele, a teoria da integração foi desenvolvida por Lebesgue (1875-1941), que unificou as noções de contagem e medida, e aplicada por Kolmogorov (1903-1987) como fundamento da teoria axiomática da probabilidade.

Essencialmente, a definição de integral é inspirada no cálculo de área de figuras planas: a integral de uma função define a área (algébrica) da região plana entre o gráfico da função e o eixo de sua variável. Historicamente, o conceito de integral foi precedido pelo método de exaustão, que é um método de calculo de áreas de figuras planas baseada na ideia de um limite de aproximações por áreas de polígonos regulares; esse método foi descoberto e utilizado já na Antiguidade, tendo sido proposto originalmente por Antífon (480 a.C. -411a.C.), desenvolvido por Eudoxo (410 ou 408 a.C. -355 ou 347 a.C.) e aplicado proficuamente por Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.). A seguinte formula para a integral de uma função traduz em termos modernos a essência do método de exaustão:

∫_a^b▒〖f(x)dx=(b-a)∑_(n-1)^∞▒∑_(m-1)^(2^n-1)▒〖(-1)^(n+1) 1/2^n f(a+m (b-a)/2^n ) 〗〗

Teorema fundamental do Cálculo

O teorema fundamental do Cálculo (TCF) relaciona uma única formula os conceitos da derivada e integral - um fato surpreendente porque esses conceitos são definidos independentemente e tem significados bastante distintos: para uma função f:(a,b)→R como derivada continua, o TFC consiste da seguinte identidade

∫_a^b▒〖f´(x)dx=f(b)-f(a)〗

O Teorema Fundamental do Cálculo, o calculo de integrais de funções continuas é reduzido á obtenção de primitivas (anti-derivadas), objeto das técnicas de integração – o que constitui um preliminar essencial para as técnicas de resolução de equações diferenciais. Em resumo o TFC é fundamental por duas razoes principais:

Reduz o calculo de integrais ao calculo de primitivas ou anti-derivadas;

Fundamenta outros conceitos matemáticos, além de estar na base de muitas aplicações do calculo nas ciências exatas (particularmente na física).

É oportuno salientar que o FTC revolucionou o calculo de área de figuras planas na medida em que o padronizou e reduziu o calculo de anti-derivadas; antes o calculo de área de figuras estava restringido a um pequeno conjunto de figuras, era trabalhoso e especifico.

Aplicações da Integral e das Técnicas de Integração

A teoria da integração possui inúmeras variáveis aplicações em muitas áreas da matemática e das ciências exatas, principalmente na teoria das equações diferenciais (e integrais), na teoria estatística e na teoria das probabilidades.

O conceito de integral nos permite definir noções importantes em diversas áreas de estudo, especialmente na Física, por exemplo, o trabalho realizado por uma forca F ⃗ sobre uma partícula que se movimenta ao longo de uma trajetória γ é definido pela integral (de caminho)

W=∫▒〖(F.) ⃗dr ⃗ 〗

Outros conceitos físicos importantes definidos por uma integral são os fluxos de campos vetoriais, momentos de inércia e momentos de rotação,...

Aplicações elementares da integral são os cálculos de áreas e volumes e valores totais de quantidades definidas por funções densidades.

Geralmente, regiões limitadas por curvas (que não sejam segmentos de reta) não podem ter sua área calculada por métodos puramente geométricos.

Um exemplo de equação diferencial importante para a Física é a Segunda Lei de Newton: se uma partícula de massa m se movimenta sob ação de uma forca F ⃗, então sua posição r ⃗ (t) no instante t satisfaz a seguinte equação diferencial de segunda ordem:

m=(d^2 r ⃗)/〖dt〗^2 =F ⃗

No caso de movimento unidimensional com forca constante F = a, duas integrações sucessivas determinam a função posição (r_0+v_0 são a posição e velocidade iniciais a partícula):

r(t)=r_0+v_0 t+1/2m at^2

Integral Indefinida

Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro; conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição em um momento qualquer; conhecendo o índice de inflação, deseja-se estimar os preços, e assim por diante.

O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida.

Primitiva ou Antiderivada: Uma função F para a qual F ’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de f é chamada de primitiva ou antiderivada de f.

Propriedade: Se F é uma primitiva de uma função contínua f, então qualquer outra primitiva de f tem a forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante.

Integral Indefinida: Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por

∫▒〖f(x)〗 dx=F(x)+c

onde F é uma primitiva de f, C é uma constante, chamada constante de integração, o símbolo ∫é chamado sinal de integração, f(x) é o integrando e dx é a diferencial de x, neste contexto, um símbolo indicando que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x.

Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução F(x) + C. Se essa derivada for igual a f(x), então a primitiva está correta; se for diferente, existe algum erro nos cálculos.

A ligação que existe entre derivadas e primitivas permite usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração.