O Cálculo Integral – Fatos Históricos

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O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas, ou Cálculo Diferencial, e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral.

O Cálculo Integral – Fatos Históricos

Um dos problemas mais antigos, que foi enfrentado pelos gregos, foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando foi dado início ao estudo de figuras planas, elas eram relacionadas com a área do quadrado, por essa ser a figura plana mais simples. Estes eram problemas de quadratura – um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.

As quadraturas que fascinavam os geômetras da época eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. Figuras que se assemelham com a lua no seu quarto crescente – chamadas de lúnulas – foram estudadas por Hipócrateas de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: utilizou primeiro um quadrado, em seguida um octógono, um hexadecágono, e assim por diante. Porém, essa seqüência nunca poderia ser concluída, apesar disso, foi a partir desta idéia que se originou o método da exaustão.

Uma das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. e trata-se do teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.

“Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base.”

George F. Simmons – autor do livro Cálculo com Geometria Analítica, Volume 02, São Paulo – 1987.

Arquimedes foi o responsável por várias outras contribuições como exemplo a resolução do primeiro problema de soma infinita, onde ele conseguiu provar o resultado, utilizando o método da exaustão, evitando a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Outra contribuição foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número

Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para "escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.

Redução ao absurdo

A próxima contribuição para o Cálculo Integral foi comente no fim do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou o de quadratura parabolae onde contém o método grego para resolver problemas de Cálculo de áreas desse tipo.

Quadratura da Parábola

Em seu trabalho sobre movimento dos planetas, Kepler, precisou encontrar áreas de vários setores de uma região elíptica, e o método utilizado consistia em pensar na superfície como a soma de linhas – método que apresentava muita imprecisão. Para o cálculo de volumes sólidos, pensava-se na soma de fatias planas, e desta maneira calculou-se o volume de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para calcular uma área com esse volume, Kepler subdividia o sólido em várias fatias – denominadas infinitésimos – e a soma dos mesmos se aproximava do volume desejado.

Fermat e Cavalieri foram dois matemáticos que contribuíram muito para o nascimento do Cálculo Integral. Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas em sua obra mais conhecida – Geometria indivisibilibus continuorum nova. Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos “indivisíveis”.

Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmezado por Wallis, que em 1655 desenvolveu indução e interpolação em seu trabalho Arithmetica Infinitorum, o que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler sobre função de gamma.

Aritmética do Infinito

Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das, então chamadas “parábolas maiores”. Onde se empregou uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas. Por volta de 1640 a fórmula geral da integreal das parábolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise, Pascal, Descartes, Torricelli entre outros.

O problema