O Projeto Métodos Experimentais

1. PROJETO

1. OBJETIVOS

O objetivo principal desse projeto é identificar a aplicação de equações diferenciais de primeira ordem na análise de um investimento bancário. Os objetivos específicos envolvem a modelagem de um sistema que descreva o comportamento do investimento ao longo de um tempo (t), o cálculo da constante de tempo e a caracterização do sistema, avaliando as grandezas de influência e estimando sua respectiva incerteza.

1. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL E METODOLOGIA

Como ponto de partida, definiu-se uma situação hipotética: um investimento com aportes conhecidos, com incidência de taxa de juros compostos. Dessa forma, o modelo matemático proposto deverá nos mostrar o montante aplicado, sendo montante o valor do capital inicial corrigido pelo juro incidente, conforme expresso a seguir:

    (1)[pic 1]

Onde j é o juros, C0 é o capital inicial e i é a taxa de juros aplicada. Dessa expressão, conseguimos obter o cálculo do montante:

   (2)[pic 2]

  (3)[pic 3]

 (4)[pic 4]

O cálculo acima diz respeito ao primeiro período (t) da aplicação, geralmente medido em meses no mercado financeiro. Para calcular o montante após o segundo período teríamos a seguinte expressão:

  (5)[pic 5]

 (6)[pic 6]

  (7)[pic 7]

  (8)[pic 8]

Ou seja,[pic 9]

  (9)[pic 10]

Portanto, a expressão 9 fornece o montante de um capital aplicado durante t períodos. Outra conclusão que podemos tirar dessa expressão é que quando os juros são calculados continuamente, o capital varia em relação ao período, proporcionalmente ao produto do capital pela taxa de juros, portanto:

 (10)[pic 11]

A expressão 10 é a equação diferencial de primeira ordem que descreve a variação de investimento financeiro em função do tempo e da taxa de juros aplicada. Para dar sequência à análise do investimento, consideremos uma situação real, na qual podem ser feitos aportes ou resgates, esses aportes e resgates serão representados em nossa equação pela constante k (sendo k negativo quando representando um resgate, e positivo quando representando um aporte):[pic 12]

  (11)[pic 13]

Por tratar-se de uma equação diferencial de primeira ordem linear, para solucioná-la encontrou-se seu fator integrante:

[pic 14]

[pic 15]

 (12)[pic 16]

Multiplica-se a equação 11 pela 12:

[pic 17]

  (13)[pic 18]

Integrando a equação 13:

[pic 19]

  (14)[pic 20]

Resolvendo para C(0):

[pic 21]

  (15)[pic 22]

Substituindo o termo da equação 14 pela equação 15:[pic 23]

   (16)[pic 24]

A equação 16 é portanto uma fórmula que generaliza o cálculo dos juros compostos de um investimento, durante um período t, deduzida de uma equação diferencial de primeira ordem. Para testar o modelo, suponha que uma pessoa, ao ter um filho, resolve guardar mensalmente R$ 200,00 em uma poupança, até que a criança complete 18 anos. Considere ainda que a taxa de juros mensal da poupança é i = 0,005.

Substituindo os valores na equação 16, temos k = 200, t = 18 x 12 (meses), e como não há aporte inicial C0 = 0. O que nos leva ao seguinte resultado:

[pic 25]

[pic 26]

Portanto, quando a criança completar 18 anos, a poupança terá um saldo de R$ 77.787,18. Dos quais R$ 43.200,00 foram aplicados pelos pais, e o restante é o saldo capitalizado pela taxa de juros.

1. Cálculo da Constante do Tempo

Para o cálculo da constante do tempo, inicialmente é definida a equação que rege o comportamento da constante de tempo.  Para equações do tipo:

 , sabemos que a constante de tempo equivale a . Aplicando tal definição à equação 11, conclui-se que neste modelo . Ou seja, para um intervalo de t = 200 meses, deve-se observar variações constantes do saldo da poupança. Com o intuito de verificar os resultados obtidos, traçou­se um gráfico com as variações de saldo, em função da constante do tempo. Os valores obtidos podem ser observados na Tabela 1 e no Gráfico 1. Nota-se que o resultado está em acordo com a literatura.[pic 27][pic 28][pic 29]