Projeto Integrador Cálculo

PROJETO DAS ATIVIDADES INTEGRADORAS DO TERCEIRO PERÍODO DAS ENGENHARIAS

CÁLCULO III

Integrantes: Wallace Luna de Oliveira (A06162416)

                    Daniel Vitor Oliveira Gomes (A06162310)

                    Gustavo Martins Almeida (A06162606)

                    Ludmila Samara Almeida Silva (A06160465)

                    Luís Felipe Domingues (A06162881)

[pic 5]

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Projétil Lançado Verticalmente para Cima

Observações

O movimento de um projétil pode ser entendido como movimento livre de um corpo lançado num campo gravitacional uniforme, onde a aceleração da gravidade é constante e vertical, sendo desprezível a resistência do ar. O movimento vertical será uniformemente variado com uma aceleração igual à da gravidade, sendo assim, a partícula será lançada de baixo para cima, com velocidade inicial , no instante em que tempo será zero e em um ângulo horizontal. [pic 6]

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Modelo

(1) O projétil é lançado, inicialmente, com uma velocidade v0, a qual encontraremos por meio das seguintes equações:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

(3) Com o auxílio das equações anteriores, podemos encontrar as equações de posição dos movimentos retilíneo uniforme e uniformemente variado:

[pic 10]

(4) Podemos verificar, por meio das equações encontradas, que a trajetória é uma parábola:

[pic 11]

→ Substituindo na equação 3.2, em termos de y(x), temos:

[pic 12]

(5) Também, é possível determinar a distância horizontal máxima que o projétil atingirá:

[pic 13]

→ Substituindo na equação 3.1, temos:

[pic 14]

(6) Altura máxima:

[pic 15]

Teorias

O lançamento de qualquer projétil acontece sob a ação da aceleração gravitacional, que age verticalmente para baixo, sendo assim, podemos concluir que, neste caso, a aceleração será negativa, pois o sentido da trajetória é de baixo para cima. A velocidade deste modelo é uma grandeza vetorial, que forma um ângulo com a horizontal (eixo x), por isso pode ser decomposta em x e y, possibilitando que os movimentos sejam analisados separadamente.

Durante a subida, a velocidade vertical diminui, chega a um ponto onde se iguala a zero e desce aumentando. A partir disto, pode-se calcular a altura máxima e o tempo que o projétil levará para atingi-la. Ademais, sabendo que a trajetória será em forma de parábola, devido às funções serem de segundo grau, é possível encontrar o alcance máximo, que é a distância entre o ponto de lançamento e o ponto de queda da partícula, ou seja, onde y=0.

Por fim, com as equações encontradas, consegue-se dizer a posição e velocidade em qualquer instante de tempo da trajetória.